![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Общие свойства движения вязкой жидкости.
Ранее была получена общая система уравнений гидромеханики вязкой жидкости и сформулирована постановка задач, позволяющая выделить конкретные движения. Рассмотрим свойства движений вязкой жидкости, являющиеся общими для разнообразных видов ее движения. Будем предполагать, если не оговорено особо, что коэффициенты вязкости μ и теплопроводности k постоянны. В этом случае уравнения Навье — Стокса и уравнение неразрывности образуют замкнутую систему уравнений для определения давления р и составляющих вектора скорости υ i (i = 1, 2, 3):
div v = 0. (2) Уравнение энергии для несжимаемой жидкости в предположении, что внутренняя энергия является функцией только температуры Е = сТ, имеет вид
Последнее слагаемое правой части уравнения энергии, как будет показано ниже, характеризует приток тепла, обусловленный работой сил трения Так как система уравнений (1), (2) не содержит температуры Т, то, решив ее, можно определить неизвестные функции v и р, а затем найти температуру Т из уравнения (3). Тогда для определения составляющих тензора напряжений и вектора потока тепла имеем следующие уравнения:
где Для отыскания решений системы (1) — (3) должны быть заданы граничные условия. Характер этих условий в различных задачах был подробно рассмотрен ранее. В частности, при решении задачи об обтекании неподвижного тела с поверхностью S безграничным установившимся потоком вязкой жидкости ищутся решения системы (1), (2), удовлетворяющие условиям
Необратимость движения вязкой жидкости. Рассмотрим сначала течения идеальной несжимаемой нетеплопроводной жидкости. Такие течения описываются системой уравнений
div v = 0. (5) Массовые силы F = F(x, у, z) известны. Пусть v = v(x, у, z, t), p = p(x, у, z, t) (6) — решения системы (5). Введем новые функции v' == — v (x, у, z, — t), p' = p (х, у, z, — t). (7) Очевидно, что если функции (6)—решения системы уравнений (5), то функции (7) также будут решениями этой системы уравнений. Действительно, систему уравнений, которая не будет совпадать с исходной системой уравнений (1) и (2). Таким образом, функции v', p' не являются решениями уравнений Навье — Стокса. Обратимость течения будет иметь место только тогда, когда Завихренность течений вязкой несжимаемой жидкости. Будем исходить из системы уравнений для вязкой несжимаемой жидкости (1), (2). Покажем, что любое решение задачи о потенциальном движении идеальной жидкости является точным решением системы уравнений (1), (2). Действительно, если движение вязкой жидкости безвихревое, то v = gradφ. (8) В силу уравнения неразрывности divv = 0 имеем Δ φ = 0 (9) Отсюда следует, что Δ v = Δ grad φ = grad Δ φ = 0. (10) Но при наличии (10) уравнения Навье —Стокса (1) совпадают с уравнениями Эйлера (5), т. е. решения уравнений Эйлера при предположении (8) являются и решениями уравнений Навье — Стокса. Рассмотрим задачу об обтекании неподвижного тела установившимся потоком вязкой жидкости. Решение такой задачи должно удовлетворять уравнениям (1), (2) и граничным условиям Попробуем найти решение этой задачи в классе потенциальных (безвихревых) течений. Такое решение (если оно существует) должно удовлетворять уравнению (9) и граничным условиям. Но, как было показано ранее, решение уравнения (9) определяется с точностью до циркуляции при следующих условиях
При этом касательная составляющая скорости υ τ на поверхности тела будет отлична от нуля, т.е. Это означает, что потенциальный поток в случае вязкой жидкости не удовлетворяет в точках соприкосновения с твердой стенкой условию прилипания v |s = 0, т. е. класс потенциальных течений не может быть использован для решения задач об обтекании тел вязкой несжимаемой жидкостью. Течения вязкой жидкости в этом случае вихревые. Это второе принципиальное отличие движения вязкой жидкости от движения идеальной жидкости. Диссипация механической энергии в вязкой жидкости. При движении вязкой жидкости только часть работы, совершенной массовыми и поверхностными силами, идет на изменение кинетической энергии, а остальная часть как механическая энергия теряется (рассеивается, диссипирует), превращаясь в тепло. Здесь D – энергия, которая рассеивается за единицу времени в единице объема. При движении вязкой жидкости происходит диссипация механической энергии. Для идеальной жидкости D=0, так как μ =0.
Точные решения системы уравнений вязкой жидкости. Система уравнений несжимаемой вязкой жидкости, получек ная ранее, имеет вид div v = 0. Отыскание точных решений этой системы существенно труднее, чем для идеальной жидкости. Почти все точные решения в каком-то смысле получены для одномерных течений. Будем считать течение одномерным, если скорости параллельны некоторому направлению в пространстве; при этом в точках плоскости, перпендикулярной этому направлению, гидродинамические величины могут принимать различные значения. Выберем направление движения за направление оси х. Тогда
Выпишем систему уравнений вязкой жидкости, учитывая (1):
Из (2) следует, что υ x не зависит от x, из (4) – что p не зависит от y и z, т.е.
Учитывая (5), перепишем уравнение (3) следующим образом
Левая часть (7) не зависит от x, следовательно,
Таким образом, в одномерном движении давление является линейной функцией х. Функции f(t) и f1(t) могут быть найдены, если в двух сечениях x1 и х2 задано давление р, а именно
Тогда
При заданном перепаде давлений скорость находится из уравнения (7):
Уравнение (10) по виду совпадает с хорошо изученным уравнением теплопроводности. Неоднородное уравнение (10) может быть сведено к однородному заменой
Для отыскания решения уравнения (10) должны быть заданы начальные и граничные условия. Одномерные движения могут осуществляться при течении жидкости в цилиндрических трубах (или вне их). Поэтому граничные условия записываются на контурах lк, получаемых сечением цилиндра плоскостью х = const:
Здесь
Задача упрощается, если течение установившееся. В этом случае перепад давлений постоянен, и уравнение (10) сводится к уравнению Пуассона
Начальные условия отпадают, а граничные условия не зависят от времени
В самом общем случае скорость Особый случай одномерного течения представляет безнапорное движение жидкости, когда
Если движение установившееся, то скорость находится как решение уравнения Лапласа
удовлетворяющее граничным условиям (14). Заметим, что задача (16), (14) эквивалентна задаче об отыскании функции тока ψ в плоских течениях идеальной несжимаемой жидкости
Отсюда следует, что для решения задачи (16), (14) можно использовать метод конформных отображений. Сила fk, действующая на контур в вязкой жидкости, выражается через циркуляцию Г соответствующего течения идеальной жидкости. Действительно,
|