![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Комплексный потенциал. Комплексные потенциалы простейших потоков.
Мы получили выражения для проекций скорости через производные от функций φ и ψ. Сравнивая их, получаем уравнения связи между потенциалом скоростей и функцией тока
Это известные из теории функций комплексного переменного условия Коши — Римана, которые гарантируют, что функция будет функцией одной комплексной переменной z = x + iy. Функцию Называют комплексным потенциалом, или характеристической функцией течения. Если комплексный потенциал известен, то легко найти функции φ и ψ.
Введение комплексного потенциала позволяет применить хорошо разработанный аппарат теории функций комплексного переменного для отыскания решения многих задач об установившихся плоских потенциальных течениях идеальной несжимаемой жидкости. Рассмотрим комплексные потенциалы простейшего вида и установим, каким течениям они соответствуют. Пример 1. ω (z) = az, где а > 0 (вещественно): φ (х, у) + iψ (x, у) = а(х + iy). Отделим вещественную и мнимую части φ (х, у) = ах, ψ (х, у) = ау. Компоненты скорости
Имеем течение вдоль оси х с постоянной скоростью а. Линии тока ψ = const есть прямые у = const, линии равного потенциала φ = const есть х = const. Пример 2. ω (z) = ae~iaz, где а и α вещественны и пусть, для определенности, положительны. Имеем Отсюда
Компоненты скорости
Линии тока ψ =const есть прямые y=tgα x+C, образующие угол α с осью x. (рис.3)Это же следует и из выражения для скоростей. Таким образом, имеем поступательный поток с постоянной скоростью, образующий угол α с осью x. Линии φ =const – прямые, перпендикулярные линиям тока.
рис. 3
Пример 3. Рассмотрение этого примера удобнее вести в полярных координатах r, θ
Линии тока ψ = const будут лучами, выходящими из начала координат. Линии равного потенциала φ = const есть окружности r = const (рис. 4).
Пример 4. Пусть в точке А плоскости {х, у) расположен источник обильности q, в точке В — источник обильности — q (сток), причем комплексные координаты точек (рис. 5)
рис. 5
Комплексный потенциал течения, вызываемого каждым из источников, имеет вид
Комплексный потенциал суммарного течения
Пусть l→ 0, а q→ ∞, причем так, чтобы произведение ql оставалось постоянным: ql=M. Тогда для такого предельного течения комплексный потенциал будет иметь вид Эта формула дает комплексный потенциал течения от расположенного в начале координат диполя с моментом М и осью диполя, образующей угол α с осью x. Ось диполя принято направлять от стока к источнику.
|