![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Теорема Гельмгольца о сохранении вихрей
Предполагаются выполненными условия теоремы Томсона, а именно: жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны. Первая теорема. Если жидкие частицы в какой-либо момент времени t0 образуют вихревую линию, то эти же частицы образуют вихревую линию во все последущие и все предыдущие моменты времени. Докажем сначала, что если в некоторый момент времени жидкие частицы образут вихревую поверхность, то эти же частицы образуют вихревую поверхность при всех t (t < t0 и t> t0). В каждой точке вихревой поверхности согласно ее определению вектор вихря скорости перпендикулярен нормали к поверхности, т. е.
Пусть жидкие частицы в момент tо образуют вихревую поверхность So. Рассмотрим на этой поверхности произвольный замкнутый контур l0, ограничивающий участок поверхности σ о. Согласно формуле Стокса имеем
В момент времени t частицы жидкости, находившиеся в момент t0 на контуре l0, образуют контур l, ограничивающий площадку σ поверхности S, на которую перешли частицы с поверхности So. Но по теореме Томсона циркуляция по жидкому контуру не меняется со временем, т. е. Следовательно, для участка σ поверхности S, учитывая формулу Стокса, получаем
Ввиду произвольности σ из (3) следует, что в любой точке поверхности выполняется (1), т. е. поверхность S вихревая. Действительно, допустим, что это не так и поверхность не вихревая, тогда найдется такая точка А этой поверхности, в которой Докажем теперь, что вихревая линия остается при движении жидкости вихревой. Пусть в момент времени t0 жидкая кривая А0В0 есть вихревая линия. Проведем через какую-либо точку этой линии две пересекающиеся кривые. Проведя через точки этих кривых вихревые линии, получим вихревые поверхности S10) и S20). Линия пересечения S(10) и S20) есть по построению вихревая линия АаВ0. В момент времени t жидкие поверх- ности S(10) и S20) перейдут в поверхности S1 и S2. По доказанному выше поверхности S1 и S2 будут вихревыми. На поверхности S1 будут все жидкие частицы, которые были на S1, на S2 — все частицы, которые были на S20). Жидкие частицы, которые принадлежали сразу двум поверхностям S(10) и S20) опять будут принадлежать сразу двум поверхностям S1 и S2. Это значит, что вихревая линия А0В0 перешла в линию пересечения АВ вихревых поверхностей S1и S2. Вектор вихря Ω в любой точке пересечения двух поверхностей S1 и S2 должен лежать в касательной плоскости к каждой из поверхностей, т. е. вектор Ω направлен по касательной к линии пересечения АВ, поэтому линия АВ - вихревая линия. Вторая теорема. Интенсивность вихревой трубки постоянна по ее длине и не изменяется со временем. Совокупность вихревых линий, проведенных через замкнутый контур, образует вихревую трубку. Интенсивностью вихревой трубки называют циркуляцию скорости по контуру, охватывающему трубку Такое понятие имеет смысл, если интенсивность (т. е. циркуляция Г) не зависит от положения контура l по длине трубки. По теореме Стокса
Докажем, что для всех контуров l, лежащих на поверхности трубки и охватывающих ее, интенсивность одна и та же. Пусть l1 и l2 — два каких-либо из таких контуров. Рассмотрим объем τ, ограниченный поверхностью S, состоящий из S1, Σ, S2, где S1 и S2 — сечения трубки, ограниченные соответственно контурами l1 и l2, а Σ — часть боковой поверхности трубки, заключенная между l1 и l2. Рассмотрим поток вихря через поверхность S. Согласно теореме Гаусса-Остроградского получим
Поскольку
Здесь n — внешняя нормаль к поверхности, ограничивающей объем τ. Введя
Где Г1 и Г2 – циркуляции, вычисленные при обходе контуров l1 и l2 в одном направлении. Из (6), учитывая (7), получим
т. е. интенсивность Г вихревой трубки постоянна по ее длине. Так как выполнены условия теоремы Томсона, то циркуляция по любому жидкому контуру не зависит от времени и, следовательно, интенсивность вихревой трубки не изменяется со временем. Уравнение Фридмана для вихря.
Уравнение (1) называется уравнением Фридмана. Если поле массовых сил консервативно (F = —grad V) и жидкость баротропна, то rotF = 0, gradρ X grad р = φ '(р) grad pX grad p = 0. В этом случае уравнение Фридмана приобретает вид
Если, кроме того, жидкость несжимаема, уравнение (1) запишется в виде
Уравнения (2), (3) впервые были получены Гельмгольцем. Теоремы Гельмгольца можно доказать исходя из уравнения (2). Уравнение Фридмана дает возможность количественно описать изменение вихря, происходящее вследствие неконсервативности массовых сил и бароклинности жидкости.
|