![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Система уравнений гидромеханики вязкой теплопроводной жидкости и постановка задач для нее. Уравнение Навье-Стокса.
Рассмотрим вязкую жидкость, для которой связь тензора напряжений с тензором скоростей деформации дается формулами
Будем предполагать, что жидкость подчиняется закону теплопроводности Фурье. Рассмотрим жидкость без внутреннего момента. В этом случае уравнение моментов (учитывая, что Уравнение неразрывности будет иметь вид
Уравнение движения сплошной среды
Уравнение энергии
Связь тензора напряжений с тензором скоростей деформации отображается (1). Закон теплопроводности Фурье
Уравнение состояния
К этим уравнениям надо присоединить выражения для внутренней энергии E, коэффициентов вязкости μ и λ и теплопроводности k:
Считаем, что поле массовых сил F и вид функции ε известны. Таким образом, получена общая система уравнений гидромеханики вязкой жидкости. Рассмотрим однородную несжимаемую жидкость. Для нее μ = const, k = const. (8) Так как ρ = const, то
Тензор напряжений в силу (9) будет
Рассмотрим уравнение движения (3). Запишем его проекцию на ось x и подставим вместо τ ik выражение (10). Учитывая при этом (8), получим
В силу (9) уравнение (11) примет вид
Аналогично запишутся два других уравнения – проекции на оси y и z. Введем обозначения
Перепишем уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости в виде
Уравнения (13) равносильны одному векторному уравнению
Уравнения (13) и (14) носят название уравнений Навье-Стокса. Для вязкой несжимаемой жидкости система уравнений имеет вид
Функция Ф имеет вид Чтобы решение интересующих задач, описываемых этой системой, было единственным, должны быть заданы граничные условия. Рассмотрим граничные условия трех типов: на обтекаемом теле, на границе раздела двух жидкостей и на бесконечности. Постановка задач для установившихся течений. 1. Граничные условия на обтекаемом теле. При установившемся течении тела неподвижны, скорость u точек поверхности обтекаемого тела равна нулю. Вязкая жидкость обладает свойством прилипания к телу. Поэтому на поверхности S непроницаемого тела скорость частиц жидкости должна быть равна нулю, т.е.
Если поверхность непроницаема, то Также ставится условие для температуры: либо задается температура Т жидкости у поверхности тела, если 2. Граничные условия на поверхности раздела двух жидкостей. Поверхность Σ неподвижна. Условие для скорости Условие для напряжений Условие для потока тепла (сохранения потока тепла)
3. Условия на бесконечности
Таким образом, задача состоит в нахождении решения системы уравнений, удовлетворяющего указанным условиям. Постановка задач для неустановившихся течений. 1. Граничные условия на поверхности тела. Для непроницаемого тела
2. Граничные условия на поверхности раздела сохраняют вид для установившихся течений, но теперь от времени t могут зависеть не только функции v, τ n, T, но и сама поверхность раздела Σ. 3. На бесконечности должны быть известны 4. Начальные условия не отличаются от начальных условий в идеальной жидкости. Таким образом, требуется найти решение системы уравнений вязкой теплопроводной жидкости, которое в момент времени
|