![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Течение вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса. Пограничный слой.
Различая движения вязких жидкостей по характерным для этих движений рейнольдовским числам, можно выделить два крайних, обладающих существенными особенностями случая: движение с малыми рейнольдовскими числами и движения с большими рейнольдовскими числами. Течениям идеальной жидкости отвечает число Re = ∞. Если числа Рейнольдса велики (Re > > 1), то можно ожидать, что течения вязкой жидкости близки к течениям идеальной. Это тем более вероятно, что решение задачи о потенциальном течении идеальной жидкости является точным решением уравнений вязкой жидкости. Однако, как было показано ранее, потенциальные решения не обеспечивают выполнения граничных условий на поверхности обтекаемого тела. Поэтому, если рассматривать обтекание некоторого тела, то следует ожидать, что течения вязкой жидкости при больших числах Re будут близки к течениям идеальной жидкости всюду, за исключением тонкого слоя
около границы. В этом тонком слое влияние вязкости существенно сказывается на распределении скорости. Гипотезу о существовании такого тонкого переходного слоя подтверждают и эксперименты. Этот тонкий слой принято называть пограничным. Возникает вопрос, как определить его толщину? Конечно, толщина пограничного слоя — понятие очень условное. Практически толщиной пограничного слоя Схему описания пограничного слоя предложил в 1904 г. Прандтль. Будем считать, что Re > > 1. Упростим уравнения движения вязкой жидкости применительно к пограничному слою, пользуясь тем, что Рассмотрим задачу об обтекании некоторого контура плоским потоком вязкой жидкости. Положение точки в пограничном слое можно определить, задавая длину х дуги, отсчитываемую от точки разветвления потока, и расстояние у по нормали от контура. Так как толщина пограничного слоя весьма мала по сравнению с радиусом кривизны, то, пренебрегая кривизной контура, можно в пределах слоя рассматривать х и у как прямоугольные декартовы координаты. Если внешних сил нет, то движение жидкости описывается системой уравнений
Будем рассматривать течение внутри слоя
Составляющая vx на внешней границе пограничного слоя имеет порядок V, где V — скорость на бесконечности. Предположим, что это справедливо во всем пограничном слое, т. е.. υ x = 0(V). (5) При изменении х от нуля до l скорость меняется на величину порядка V, поэтому
При изменении у от 0 до
В силу предположения (4)
В силу (5), (6) имеем
Порядок величины υ у можно оценить, используя уравнение неразрывности
Следовательно, Если дополнительно предположить, что рассматриваются только такие нестационарные течения, для которых Прандтль предположил, что в пограничном слое силы инерции и силы вязкого трения одного порядка. Принимая это предположение, получим, что или, учитывая (7),
Отсюда следует, что
Относительная толщина пограничного слоя обратно пропорциональна Для оценки члена
Отсюда
Этот результат мы имеем и из уравнения (8). Рассмотрим теперь уравнение (2). Имеем
Очевидно, в
Из (11), (12) и уравнения (2) следует, что
Из сравнения (13) с (10) следует, что в пограничном слое
Таким образом, давление по оси у меняется существенно медленнее, чем по оси х, поэтому уравнение (2) можно заменить уравнением
Давление поперек пограничного слоя не меняется. Система уравнений вязкой жидкости содержит еще уравнение неразрывности. Оно остается без изменений. Уравнения (8), (3), (14) образуют систему уравнений пограничного слоя
Последнее из уравнений (15) означает, что давление через пограничный слой по нормали передается без изменения. Так как вне пограничного слоя жидкость можно считать идеальной, давление может быть взято из решения уравнений идеальной жидкости. Но так как пограничный слой тонок, то можно считать, что во всем пограничном слое зависимость давления р от х и t такая же, как в идеальной жидкости. Тогда два первых уравнения (15) можно рассматривать как систему уравнений пограничного слоя для функций υ x и υ y, в которых Если течение установившееся, то вне пограничного слоя (идеальная жидкость) справедлив интеграл Бернулли
Если и = U — скорость на внешней границе пограничного слоя, то в силу того, что уравнения пограничного слоя с учетом (16) можно записать в следующем виде:
Так как, в частности, при функцию U может быть взято решение уравнений идеальной жидкости при у = 0. При этом U = Ux и зависит только от х. Искомые функции υ x, υ y нужно находить как решение уравнений (17) при следующих граничных условиях: 1) на теле при 0 ≤ x ≤
2) на внешней границе пограничного слоя υ x = (1-ε) U (х), (19) где ε — заданная малая величина. Фактически ввиду неопределенности границы пограничного слоя ( Поэтому граничные условия несколько видоизменяют. Во-первых, решения системы (17) можно найти только при заданном значении υ x при х = 0. Во-вторых, условие на границе пограничного слоя заменяют условием при
2) 3) Имея распределение скоростей в пограничном слое, т.е. найдя решение уравнений (17), удовлетворяющее условиям (20), можно найти внешнюю границу слоя
Течение вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. Для установившегося течения вязкой жидкости существенно значение числа Рейнольдса, причем при отсутствии массовых сил (g = 0) число Re является единственным параметром, характеризующим с точностью до подобия рассматриваемое течение. Поэтому когда не удается найти точное решение задачи, в общем случае развивают приближенные методы, соответствующие тем или иным предположениям относительно числа Рейнольдса. Такие приближенные методы развиты в предположении, что Re > > 1 и Re < < 1. Рассмотрим течения вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса Re < < 1. Это означает, что к рассматриваемому виду относятся медленные движения вязкой жидкости, движения жидкости с большой вязкостью, движения малых тел в сравнительно вязких жидкостях. Для получения уравнений движения вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса будем исходить из общей системы уравнений Навье — Стокса
div v = 0. (1) Рассмотрим внешнюю задачу. Пусть характерный размер обтекаемого тела а, а скорость на бесконечности
После перехода к новым независимым переменным и новым искомым функциям получим
При этом искомая функция u удовлетворяет на бесконечности условию u∞ = Re. Модуль искомой величины u = |u| = существу является местным (вычисленным в данном месте) числом Рейнольдса. Предположение о малости чисел Рейнольдса означает, что
или Поскольку безразмерная скорость и ее компоненты их, иу, иz меняются на величины порядка их самих на расстояниях порядка единицы (характерного размера), то в этих течениях наряду с (4) имеем
Из (4) и(5) следует, что произведения вида являются величинами второго порядка малости. Пренебрегая в уравнении (3) величинами второго порядка малости по сравнению с величинами первого порядка малости, получим уравнения
Уравнения (6) есть уравнения движения вязкой жидкости при малых числах Re, записанные в безразмерном виде. Если теперь в уравнениях (6) снова вернуться к размерным величинам, то будем иметь систему
Уравнения (7)—уравнения Стокса для движения вязкой жидкости при малых числах Re. Иногда их называют уравнениями Стокса для медленных движений. В случае установившихся движений они имеют вид
Системы (7), (8) отличаются от исходных уравнений (1), в частности, тем, что они линейны, поэтому строить их решение гораздо проще.
|