![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Ортогональные координаты
При аналитическом описании физических явлений, как правило, используется координатный метод. Выбор системы координат носит, в известной мере, субъективный характер. Поэтому естественно поставить вопрос, во-первых, о математической формулировке какой-либо физической задачи, выраженной в самой общей инвариантной форме, независящей от системы координат; и, во-вторых, о переходе от обобщенной записи к конкретной с использованием той координатной сетки, которая наиболее целесообразна при решении поставленного вопроса. Ниже мы приведем основные сведения, касающиеся методов записи уравнений в инвариантной форме и способов их преобразования при переходе от одной координатной системы к другой. При этом основное внимание будет уделяться наиболее употребительным в практике ортогональным системам координат. Наиболее часто используются декартовы косоугольные или прямоугольные координаты (х, у, z)=(х1, х2, х3). Однако, наряду с ними, широко применяются криволинейные координаты q1, q2, q3 (переход к криволинейным координатам производится с целью упрощения рассматриваемой задачи, так как за счет их удачного выбора можно упростить уравнения или уменьшить число аргументов. Например, при наличии осевой симметрии вводят цилиндрические координаты, получая двумерную задачу, так как рассматриваемое явление не зависит от угла порота). Криволинейные координаты однозначно связаны с декартовыми, т. е. q1 = q1 (x1, x2, x3); q2 = q2 (x1, x2, x3); q3 = q3 (x1, x2, x3) и обратно x1 = x1(q1, q2, q3); x2 = x2(q1, q2, q3); x3 = x3(q1, q2, q3) Условие q1 = const определяет координатную поверхность. Ясно, что координатные поверхности, соответствующие одной и той же координате, не пересекаются между собой. Наоборот поверхности, отвечающие qi = const и qj = const, пересекаясь образуют координатную линию qk = const. Каждая точка пространства фиксируется как результат пересечения трех координатных поверхностей или двух координатных линий. В качестве примера укажем, что в цилиндрической системе координат (R, φ, z) координатными поверхностями являются: R = const — круговой цилиндр, φ = const — полуплоскость, z = const — плоскость перпендикулярная оси z, а координатные линии: R = const, φ = const — прямая, φ = const, z = const — прямая, R = const, z = const — окружность. Радиус-вектор любой точки пространства в декартовой прямоугольной системе координат может быть представлен как
где Радиус-вектор любой точки пространства в декартовой прямоугольной системе координат может быть представлен как
где Расстояние между двумя близкими точками соответственно запишется в виде
Перейдя к ортогональной криволинейной системе координат q1, q2, q3, мы можем рассматривать Если dsj (j = 1, 2, 3) есть длины ребер, то
где Величины dsj можно записать через координаты dqj, введя коэффициенты пропорциональности Hj, называемые параметрами Ламе. Тогда
Теперь вместо (3) будем иметь выражение
Дифференцируя (5) по каждой из координат, получим
Возведем в квадрат обе части последнего равенства. Это равносильно скалярному умножению левой и правой частей уравнения на себя, т.е.
Или, поскольку ej – орты, то Поэтому
В свою очередь, продифференцировав (1), приходим к соотношению
Откуда
Подставляя (7) в (6), находим или
Элемент поверхности
Элемент объема
|