![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Запись дифференциальных операторов в ортогональных координатах
Рассмотрим теперь некоторые дифференциальные операторы в ортогональных криволинейных координатах. 1. Градиент скалярной величины. Согласно определению градиента скалярной величины φ его проекции на координатные линии
2. Дивергенция потока. По своему физическому смыслу дивергенция — это разность потоков свойства α, переносимого жидкостью, втекающих в единичный объем и вытекающих из него за единицу времени. Рассмотрим элементарный объем dτ (рис. Б.1) Через площадку dσ =ds2ds3 втекает — α υ 1ds2ds3, а вытекает
3.Оператор Лапласа скалярной функции φ. На основании формулы векторного анализа ∆ φ =divgrad φ, учитывая (Б.11) и (Б.12) можно записать, что
Здесь роль α υ i играют компоненты градиента 4. Вихрь (ротор) скорости ( Для элементарной координатной поверхности (рис. Б. 2) dσ 3 последнее соотношение Рис. Б.2 можно переписать в виде
Знак осреднения опущен, ибо в пределе мы имеем точное равенство. При указанном на рисунке направлении обхода и скорости это равенство можно развернуть и представить в виде Имея в виду, что dsi=Hidqi и Аналогично могут быть получены Ω 1 и Ω 2, так что, обобщая, можно записать
где i, j, k образует циклическую перестановку чисел 1, 2, 3. 5. Оператор Лапласа для вектора скорости. Для отыскания его выражения следует воспользоваться формулой векторного анализа ∆
6. Конвективная производная скорости. В векторном анализе выводиться формула
или в координатной форме
Поскольку скалярное произведение
Соответственно при i=1 два последних слагаемых в соотношении (б) будут
7. Конвективная производная для скалярной функции φ. Как известно она может быть записана в виде скалярного произведения (
|