Метод малых возмущений. Параметры волн.

Обычно волновые возмущения характеризуются весьма малой амплитудой, поэтому их исследование ведут методом малых возмущений, которые накладываются на основное движение. Все характеристики движения могут быть представлены в виде суммы:

, , , (1)

Здесь величины со знаком тильда (~) относятся к среднему движению, а отмеченные штрихом соответствуют малым возмущениям. При этом:

, , , . (2)

Уравнение для возмущений:

(3)

Если характеристики для основного движения известны, то уравнение (3) представляет собой линейные уравнения относительно неизвестных , , . Это получается отбрасыванием нелинейных членов второго порядка малости, т.е. линеаризацией. Уравнения являются линеаризованными по отношению к исходным. Линеаризованные уравнения неразрывности и притока тепла имеют вид соответственно:

(4)

(5)

Волновые возмущения являются периодическими как по времени, так и в пространстве, поэтому их решения будем искать в виде периодических функций, например синусоиды. Запишем:

(6)

(величины с индексом «0» представляют собой амплитуду соответствующей характеристики).

Общая длина волны , - круговая частота, - волновые числа. Общий аргумент называется фазой.

Скорость перемещения волны называется фазовой скоростью. Однако, это не скорость движения частиц жидкости, а скорость перемещения формы поверхности.

Выражение

(7)

показывает, что фазовая скорость равна отношению длины волны к периоду.

Мы рассматривали одиночную волну, хотя этот случай фактически является исключительным. В реальных условиях наблюдается система волн, отличающихся друг от друга всеми своими параметрами. Таким образом, мы имеем дело с совокупностью волн или волновым пакетом. Фазовая скорость группы волн или групповая скорость имеет вид:

(8)

(для непрерывной последовательности волн)

В математическом плане удобнее работать с экспонентами, а не с синусами или косинусами. Форму волны часто задают в виде:

(9)

Рассмотрим наиболее распространенные формы волнового движения.