![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Гравитационные волны.
Этот тип волн существует на границе двух масс с различными свойствами, например вода-воздух или воздух-вода. Анализируя рассматриваемый тип, будем исходить из некоторых упрощающих предпосылок, которые позволяют выявить характерные особенности этих волн. Во-первых, будем полагать, что волна перемещается вдоль оси Уравнения принимают соответствующий вид:
Рассмотрим волны на границе раздела двух несжимаемых жидкостей, ограниченных снизу твердой стенкой, а сверху свободной поверхностью. Будем считать, что два потока с плотностями
Запишем кинематические граничные условия. Пусть
Поскольку для невозмущенного движения выполняется равенство и, кроме того, справедливы уравнения
второго порядка малости, мы можем искомое условие записать о виде
Для свободной поверхности легко получить аналогичное соотношение Решая системы (16.29) — (16.31), искомые функции будем искать в виде
а уравнение поверхностей запишем:
где α и α 1] — амплитуды.
Систему (16.40) —(16.42) легко свести к одному уравнению. Для I этого умножим (16.40) на Иг и, продифференцировав (16.41) по г. сложим результаты. Тогда, с учетом (16.42), получим
Общее решение уравнения (16.49) имеет вид
Из (16.40) и (16.41) получаем
Условия (16.43) — (16.46) дают возможность найти все постоянные из (16.52), которые соответственно равны:
Условия (16.47) и (16.48) позволяют связать величины.
где р^, и,, та, выражаются через посредство соотношений (16.50) — (16.53). Воспользовавшись формулой Эйлера, выделим вещественную часть. Тогда окончательно получим:
Если вместо свободной поверхности на верхней границе имеется твердая стенка, то а|=0. Поэтому условие (16.48) будет отсутствовать, а вместо (16.46) будем иметь
В этом случае общий вид решения не изменится и лишь в (16.53) следует положить α 1 = 0. Если длина волны значительно меньше толщины верхнего по
после простейших преобразований, получим дисперсионное уравнение вида
Если в (16.56) под корнем будет отрицательная величина, то такой волновой процесс существовать не может. Это случай неустойчивости основного движения, когда амплитуды волн растут неограниченно.
поэтому, полагая а~0, из (16.57) и (16.58) получим наиболее простые соотношения:
Соответствующие фазовые скорости
Из (16.61) мы видим, что скорость движения волны, возникающей на поверхности глубокой воды, зависит от ее длины, причем более длинные распространяются быстрее. Поэтому в случае группы волн они будут накладываться друг на друга и профиль волны будет все время меняться. Групповая скорость, как следует из (16.59), при этом равна Таким образом, она, при отсутствии среднего движения, составляет половину фазовой скорости одиночной волны. Формула (16.62) показывает, что на мелкой воде скорость движения волн не зависит от их длины. Все они перемещаются с одинаковой скоростью, вследствие чего профиль волны сохраняется неизменным. В заключение заметим, что траектории движения частиц или линии тока легко получить обычным путем, используя уравнения (2.2), (2.3) и формулы (16.54). Мы не будем решать конкретно этой задачи, ибо процедура сама по себе проста, но займет весьма много места, что методически представляется нам неоправданным.
|