Гравитационные волны.

Этот тип волн существует на границе двух масс с различными свойствами, например вода-воздух или воздух-вода. Анализируя рассматриваемый тип, будем исходить из некоторых упрощающих предпосылок, которые позволяют выявить характерные особенности этих волн.

Во-первых, будем полагать, что волна перемещается вдоль оси и является плоской, т.е. ее характеристики не зависят от . Из этого вытекает, что , и все производные . Во-вторых, считаем жидкость несжимаемой, т.е. , . Последнее условие означает, что в получающихся при этом упрощенных уравнениях не находят отражения акустические эффекты, так как звук может распространяться только в сжимаемой среде. Тем самым мы отфильтровываем звуковые волны.

Уравнения принимают соответствующий вид:

(1)

(2)

(3)

Рассмотрим волны на границе раздела двух несжимаемых жидкостей, ограниченных снизу твердой стенкой, а сверху свободной поверхностью. Будем считать, что два потока с плотностями и движутся друг над другом, причем скорости невозмущенных течений постоянны и направлены вдоль оси . Начало координат поместим на границе раздела невозмущенных течений и направим ось вверх. Тогда координата нижней твердой границы будет , а верхней , где h1 и h2 – толщины обоих потоков. Введем обозначение . Оба возмущенные течения будут описываться системами уравнений:

;

;

;

;

;

. (4)

Запишем кинематические граничные условия. Пусть - координата поверхности раздела. В невозмущенном состоянии поверхность горизонтальна, будем иметь . Для возмущенной поверхности .

Вертикальные скорости на этой границе будут равны:

Динамические граничные условия можно получить из следую­щих соображений. Прежде всего очевидно, что давление на гра­нице обоих потоков не может терпеть разрыва, так что

Разлагая это равенство в ряд и пользуясь малостью получим

Поскольку для невозмущенного движения выполняется равен­ство

и, кроме того, справедливы уравнения

гидростатики то, опуская еще члены

второго порядка малости, мы можем искомое условие записать о виде

Для свободной поверхности легко получить аналогичное соот­ношение

Решая системы (16.29) — (16.31), искомые функции будем искать в виде

а уравнение поверхностей запишем:

где α и α ₁] — амплитуды.

Существенно отметить, что в данном случае периодического решения по г уже не может быть, ибо по этой оси имеются в наличии непериодические граничные условия. Подставляя выра­жения типа (16.38) для всех искомых величин в уравнения и граничные условия, после простейших преобразований соответственно

Систему (16.40) —(16.42) легко свести к одному уравнению. Для I этого умножим (16.40) на Иг и, продифференцировав (16.41) по г. сложим результаты. Тогда, с учетом (16.42), получим

Общее решение уравнения (16.49) имеет вид

Из (16.40) и (16.41) получаем

Условия (16.43) — (16.46) дают возможность найти все постоян­ные из (16.52), которые соответственно равны:

Условия (16.47) и (16.48) позволяют связать величины.

Таким образом, искомые величины имеют вид:

где р^, и,, та, выражаются через посредство соотношений (16.50) — (16.53). Воспользовавшись формулой Эйлера, выделим вещественную часть. Тогда окончательно получим:

Если вместо свободной поверхности на верхней границе имеется твердая стенка, то а|=0. Поэтому условие (16.48) будет отсут­ствовать, а вместо (16.46) будем иметь

В этом случае общий вид решения не изменится и лишь в (16.53) следует положить α ₁ = 0.

Если длина волны значительно меньше толщины верхнего по

после простейших преобразований, получим дисперсионное урав­нение вида

где введено обозначение —

Если в (16.56) под корнем будет отрицательная величина, то такой волновой процесс существовать не может. Это случай не­устойчивости основного движения, когда амплитуды волн растут неограниченно.

Обратимся к частным случаям. Вначале предположим, что глу­бина нижнего потока значительно больше длины волны Выражение для а получим при этом из (16.56), устремляя В итоге, поскольку

будем иметь

Случай малой глубины получим из (16.56), разлагая в ряд и ограничиваясь линейным приближением, так что с В результате приходим к зависимости

Если плотность верхней жидкости значительно меньше плот­ности нижней, то а~0. Например, для случая воздух — вода

поэтому, полагая а~0, из (16.57) и (16.58) получим наи­более простые соотношения:

Соответствующие фазовые скорости

Из (16.61) мы видим, что скорость движения волны, возникаю­щей на поверхности глубокой воды, зависит от ее длины, причем более длинные распространяются быстрее. Поэтому в случае группы волн они будут накладываться друг на друга и профиль волны будет все время меняться. Групповая скорость, как следует из (16.59), при этом равна

Таким образом, она, при отсутствии среднего движения, со­ставляет половину фазовой скорости одиночной волны.

Формула (16.62) показывает, что на мелкой воде скорость дви­жения волн не зависит от их длины. Все они перемещаются с оди­наковой скоростью, вследствие чего профиль волны сохраняется

неизменным.

В заключение заметим, что траектории движения частиц или линии тока легко получить обычным путем, используя уравнения (2.2), (2.3) и формулы (16.54). Мы не будем решать конкретно этой задачи, ибо процедура сама по себе проста, но займет весьма много места, что методически представляется нам неоправданным.