Уравнение Рейнольдса осредненного турбулентного движения

Для количественного описания развитого турбулентного движения Рейнольдс предложил следующий прием. Регистрируя во времени скорости потока в данной точке пространства, можно положить

, , , (1)

Где u, - действительные мгновенные скорости потока в данной точке; - осредненные во времени скорости, а - отклонения действительных скоростей от осредненных (пульсационных скоростей или пульсаций).

Будем предполагать, что в развитом турбулентном движении пульсации малы по сравнению со средними скоростями потока, и величины осредненных скоростей слабо зависят от способа осреднения.

Среднее значение величины определяется как обычное интегральное среднее

, (2)

за промежуток времени Т, называемый период осреднения.

Предположим, что для каждого рассматриваемого турбулентного движения существует такой достаточно большой по сравнению с периодом турбулентных пульсаций, но малый по сравнению с характерным для осредненного турбулентного движения интервалом времени постоянный период осреднения Т, что приведенное сглаживание во времени (2) приводит к осредненной величине, при повторном сглаживании уже не изменяющейся, т.е.

(3)

Если в результате осреднения (2), проведенного в данной точке в разные моменты времени t, будут получаться одни и те же значения , то такое осредненное движение называется стационарным, а само турбулентное движение – квазистационарным.

В силу линейности операции осреднения (2) и равенства (3) имеем

(4)

Если ψ означает еще одну пульсирующую функцию времени и координат, то согласно (2), получим

. (5)

По определению осреднения – среднее значение производной от некоторой функции по координате равно производной от среднего значения функции по той же координате

(6)

Получим

и, следовательно,

. (7)

Для вывода дифференциального уравнения осредненного турбулентного движения воспользуемся уравнением в напряжениях, которое в случае отсутствия объемных сил имеет вид

и уравнением несжимаемости жидкости

div V = 0.

Тогда

,

div V = 0. (8)

Тензор Р равен , а тензор-диада характеризует перенос количества движения потоком со скоростью .

Разобьем все входящие в уравнение (8) величины на их осредненные и пульсационные составляющие

, , , ,

, , .

Используя в уравнении (8) эту разбивку на осредненные и пульсационные части, получим основные уравнения Рейнольдса

,

. (9)

Симметричный тензор второго ранга

. (9)

Еще называют дополнительным «рейнольдсовым» тензором турбулентных напряжений.

Полуэмпирические теории турбулентности.

Допущения, не связанные с уравнениями осредненного турбулентного движения или уравнениями Навье-Стокса действительного движения вязкой жидкости позволяющие решать проблему сопротивления и турбулентного тепломассопереноса для некоторых простейших случаев движения, образовали специальную область теории турбулентности, получившую название полуэмпирической теории турбулентности. Лежащие в ее основе допущения появились как обобщение накопленного экспериментального материала и содержат в количественном выражении вводимых закономерностей некоторое число эмпирических констант.

Выделение из общего турбулентного движения некоторого сравнительно простого осредненного движения не меняет существа тех физических процессов, которые в действительности происходят в турбулентных движениях. Линии тока осредненного движения, непроницаемы для пульсационного движения, которое переносит из слоя в слой сквозь линии тока осредненного движения количество движения, тепло, вещество и другие виды физических субстанций. Прием выделения осредненного движения можно представить так. Действительное турбулентное движение заменяется некоторым упорядоченным движением. Такую замену в метеорологических применениях теории турбулентности выражают термином «стратификация». Стратификация может производиться по различным характеристикам потоков.

Рассмотрим установившееся осредненное турбулентное движение в плоской трубе. Линии тока пульсационного движения пересекают линии тока осредненного движения, проникают из одного слоя в другой и создают перемешивание жидкости – турбулентное или молярное перемешивание. Перенос количества движения создает турбулентное трение между слоями, перенос тепла обусловливает турбулентную теплопроводность, перенос примесей – турбулентную диффузию этих примесей. Механизм турбулентного перемешивания одинаков как для трения, так и для теплопроводности или диффузии, разница заключается лишь в особых свойствах переносимой пульсационным движением субстанции.

Вводят общую формулу турбулентного трения в простейшем случае установившегося плоского осредненного движения.

(1)

Величина выражает коэффициент турбулентного перемешивания или динамический коэффициент турбулентной вязкости, а его отношение к плотности

- кинематический коэффициент турбулентной вязкости.

Прандтль придал величине физический смысл, аналогичный длине свободного пути пробега молекулы в теории молекулярного пробега. Он допустил, что подобно молекулярному обмену при турбулентном обмене конечный объем жидкости, выйдя из слоя, находящегося на некотором расстоянии от данного, сохраняет свое осредненное количество движения, пока не достигнет рассматриваемого слоя, и только здесь смешивается с окружающей жидкостью, отдавая ей всю разницу количеств движения. Расстояние от слоя, куда объем вышел, до слоя, где произошло смешение, Прандтль назвал путем смешения, отчего и вся теория получила наименование теории пути смешения. Согласно воззрениям Прандтля нормальная к линиям тока осредненного движения пульсация скорости должна быть пропорциональна разности скоростей между слоями

~ . (2)

Произведя осреднение и включая коэффициент пропорциональности в новую величину , получим формулу Прандтля

. (3)

Считается, что величина характеризует масштаб турбулентности.

При рассмотрении механизма турбулентного переноса возможны два различных подхода. Первый – дифференциальный, или локальный подход, утверждающий, что коэффициент турбулентного перемешивания на границе между двумя слоями, полностью определяется физическими константами жидкости: плотностью, вязкостью, распределением осредненной скорости вблизи границы слоя. Второй, интегральный подход, наоборот, утверждает, что процессы турбулентного переноса зависят от состояния потока в целом. Наибольшее распространение получило первое, дифференциальное направление, которое и легло в основу современных полуэмпирических теорий.