Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона (парабол).

Постановка задачи численного интегрирования. Основные понятия и определения.

К вычислению определенного интеграла сводятся многие практические задачи: вычисление площади фигур, определение работы переменной силы и др.

Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, определенный интеграл удается вычислить с помощью первообразной по формуле Ньютона-Лейбница:

,

где F(x) – первообразная.

Однако на практике этой формулой часто воспользоваться нельзя по двум причинам: 1) вид функции f(x) не допускает непосредственного интегрирования, т.е. первообразную нельзя выразить в элементарных функциях; 2) значения функции f(x) заданы только на фиксированном множестве точек (конечном) , т.е. функция f(x) задана в виде таблицы.

В этих случаях используются методы приближенного вычисления определенных интегралов

, (1)

основанные на замене интеграла конечной суммой

, (2)

где — числовые коэффициенты и — точки отрезка [a, b], k=0, 1, …, n.

называется квадратурной формулой, а сумма вида (2) – квадратурной суммой. Точки называются узлами квадратурной формулы, а числа – коэффициентами квадратурной формулы.

Разность

называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов.

Введем на [a, b] равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек

,

и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

(3)

Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке [a, b] достаточно построить квадратурную формулу для интеграла

(4)

на частичном отрезке [ , ] и воспользоваться свойством (3).

Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона (парабол).