В) Формула Симпсона (парабол).

В интеграле (4) заменим функцию f(x) параболой, проходящей через точки , т.е. подставим приближенно f(x) в виде

где — интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени.

Проводя интегрирование, получим

Таким образом, приходим к приближенному равенству

(14)

которое называется формулой Симпсона или формулой парабол.

На всем отрезке [a, b] формула Симпсона (составная формула парабол) имеет вид

здесь n/2 — число пар отрезков разбиения. В формуле Симпсона всегда n=2m и тогда составная формула Симпсона имеет вид:

(15)

Погрешность формулы (15)

,

Для этой погрешности справедлива оценка:

, (16)

,

т.е. погрешность составной формулы трапеций имеет четвертый порядок точности.

Замечание 1.

Отметим, что формулы прямоугольников и трапеций дают точное значение интеграла, когда подынтегральная функция линейна, ибо тогда ; формула Симпсона дает точное значение интеграла, когда подынтегральная функция f(x) является многочленом третьей степени, ибо тогда .

Замечание 2.

Если функция f(x) задана таблично и ее производные найти затруднительно, то в предположении отсутствия быстро колеблющихся составляющих можно применять приближенные формулы для оценки погрешностей, выраженные через конечные разности:

для формулы прямоугольников

^; (17)

для формулы трапеций

^; (18)

для формулы Симпсона

^, (19)

где под , подразумеваются разности соответствующего порядка.

Пусть дана таблица значений функции y=y(x) с равноотстоящими значениями аргумента:

где

Тогда по определению:

— конечные разности 1-го порядка;

— конечные разности 2-го порядка;

…………………..

— конечные разности k-го порядка;

Приведем горизонтальную таблицу конечных разностей при n=5.

x	y

Далее имеем:

т.е.

.

Можно показать, что

,

а отсюда имеем:

.

Теперь легко получить вышеприведенные неравенства (17), (18), (19) для оценки погрешностей формул численного интерполирования.