Выбор шага интегрирования.

Задача состоит в выборе шага h, обеспечивающего заданную точность вычисления интеграла по выбранной формуле численного интегрирования.

Рассмотрим два способа решения этой задачи:

1. Выбор шага по оценке остаточного члена.

Пусть требуется вычислить интеграл с точностью . Используя формулу соответствующего остаточного члена R, выбирают h таким, чтобы выполнялось неравенство .

Затем вычисляют интеграл по приближенной формуле с полученным шагом. При этом вычисления следует производить с таким числом знаков, чтобы погрешность округления не превышала .

Пример. С помощью формулы Симпсона вычислить интеграл

с точностью до .

Решение. Выберем сначала шаг интегрирования.

Остаточный член формулы Симпсона имеет вид

.

Выберем шаг h таким, чтобы выполнялось неравенство

;

вычислим :

.

При оценке на отрезке воспользуемся тем, что величины

на этом отрезке положительны и убывают. Поэтому они достигают наибольшего значения в точке , причем

.

Т.е., для определения шага расчета h мы получаем неравенство

,

откуда и .

С другой стороны, шаг h следует выбирать так, чтобы разделить отрезок на четное число равных частей.

Указанным двум условиям отвечает значение , при котором .

Далее, для того чтобы погрешность не превышает , достаточно вести вычисления с четырьмя знаками после запятой.

2. Двойной пересчет.

Т.к. отыскание часто приводит к слишком громоздким вычислениям, на практике обычно используют следующий прием.

Вычисляют интеграл I по выбранной квадратурной формуле дважды: сначала с некоторым шагом h, а затем с шагом h/2, т.е. удваивают число n.

Обозначив результаты вычислений через соответственно, сравнивают их. Если , где - допустимая погрешность, то полагают

.

Если же окажется, что , то расчет повторяют с шагом h/4.

В качестве начального шага иногда можно рекомендовать число близкое к , где m=2 для формулы трапеций и m=4 для формулы Симпсона.

Указанный прием широко используется при вычислении интегралов на ЭВМ, т.к. он позволяет осуществить автоматический выбор шага при заданной точности одновременным контролем вычислений.

Отметим, что для приближенной оценки погрешности усечения можно воспользоваться принципом Рунге, согласно которому

для формулы трапеций.

для формулы Симпсона.