Формулы Ньютона-Котеса.

Пусть требуется вычислить интеграл

, (1)

если на отрезке [a; b] функция задана таблицей с постоянным шагом h:

				…
				…

Подынтегральную функцию заменим интерполяционным многочленом Лагранжа (первым интерполяционным многочленом Ньютона) и получим

, (2)

где — остаточный член интерполирования. Интегрируя равенство (2), получим

. (3)

Отсюда получим приближенное равенство

, (4)

погрешность которого определяется формулой

. (5)

Равенство (4) называют квадратурными формулами Ньютона-Котеса. Из формулы (4) при n=1 получается формула трапеций, а при n=2 — формула Симпсона. Следует отметить, что в практике вычислений редко берут значения n> 2. Для получения более точных значений при поступают так, как это было сделано при выводе обобщенных формул трапеций и Симпсона.