Примеры вычисления определенных интегралов.

Пример 1. Вычислить интеграл , используя квадратурные формулы прямоугольников, трапеции и Симпсона с шагом h = 0.1 и оценить погрешность каждого из полученных значений.

Решение. Сначала составим таблицу значений функции .

i	x
	0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.0	1.0000000 0.9975031 0.9900498 0.9777512 0.9607894 0.9394131 0.9139312 0.8847059 0.8521438 0.8166865 0.7788008 0.7389685 0.6976763 0.6554063 0.6126264 0.5697828 0.5272924 0.4855969 0.4448581 0.4055549 0.3678794

Производя по формулам (8), (12), (15), получим

=0, 7471308,

=0, 74621079,

=0, 74682418.

Оценим погрешность каждого из полученных значений, используя неравенства

Вычислим .

Вычислим .

.

Поэтому

.

Т.о. из вычислений по формуле прямоугольников с учетом погрешности следует, что

;

по формуле трапеций —

;

по формулам Симпсона —

.

Пример 2. Вычислить интеграл

по формуле трапеций с тремя верными десятичными знаками.

Решение. Для достижения заданной точности необходимо определить n так, чтобы

.

Здесь a=0.7; b=1.3; .

Находим

, ;

.

Положим , тогда из неравенства

имеем

;

;

;

;

Возьмем n=20.

Вычисление интеграла проводим по формуле

,

где

,

.

Все расчеты приведены в таблице.

i
	0.7 0.73 0.76 0.79 0.82 0.85 0.88 0.91 0.94 0.97 1.00 1.03 1.06 1.09 1.12 1.15 1.18 1.21 1.24 1.27 1.30	0.88396   0.52129	0.85572 0.82892 0.80366 0.77993 0.75700 0.73546 0.71501 0.69551 0.67700 0.65937 0.64259 0.62657 0.61140 0.59669 0.58272 0.56935 0.55658 0.54431 0.53253
		1.40515	12.77022

Т.о.,

.

Ответ: .

Пример 3. Вычислить интеграл

.

по формуле Симпсона и оценить остаточный член, если подынтегральная функция задана таблицей

Решение. В качестве шага h возьмем шаг таблицы h=0.1, тогда n=2m=8. Нужные для расчета суммы подсчитаны в следующей таблице.

i
при i = 0 и i =8	при i нечетных	при i четных
	0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8	1.0000   0.6967	0.9950   0.9553   0.8776   0.7648	0.9801   0.9211   0.8253
суммы	1.6967	3.5927	2.7265

Используя результаты вычислений, по формуле Симпсона находим

.

Для оценки погрешности составим таблицу конечных разностей для заданной функции:

x	y
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8	1.0000 0.9950 0.9801 0.9553 0.9211 0.8776 0.8253 0.7648 0.6967	-50 -149 -248 -342 -435 -523 -605 -681	-99 -99 -94 -93 -88 -82 -76		-4

, поэтому получаем

,

так что окончательно имеем: , где все знаки можно считать верными.

Пример 4. Вычислить интеграл

,

применяя формулу трапеций.

Решение. Примем n = 8, т.е. h = 0.1. Составим расчетную таблицу.

k
	1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8	0.5000 0.4762 0.4545 0.4348 0.4167 0.4000 0.3846 0.3704 0.3574

.

.

Оценим погрешность по формуле

.

Найдем f”(x), где

.

Оценим . Т.к. убывает на отрезке [1; 1.18], то

= .

Следовательно, .

Следовательно, полученное значение верно по крайней мере до третьего десятичного знака.

Пример 5. Вычислить интеграл

,

применяя формулу Симпсона. Оценить погрешность по правилу удвоения.

Решение. Примем 2n = 6, 4n = 12.

Составим расчетную таблицу для отрезка вычисления интеграла при k = 12 делениях.

k
	0.00 0.06 0.12 0.18 0.24 0.30 0.36 0.42 0.48 0.54 0.60 0.66 0.72	1.000000   1.194436	1.006896   1.025202   1.053919   1.091939   1.138825	1.001736   1.014593   1.038354   1.071803   1.114292   1.165536
	2.194436	5.316781	6.406314

Теперь вычисления произведем для 6 отрезков:

k
	1.000000   1.194436	1.025202   1.091939	1.006896   1.0533919   1.138825
	2.194436	2.117141 4.234282	3.199640 12.798560

Погрешность оценим по формуле

,

т.е. полученное значение верно до пятого десятичного знака.

6. Квадратурная формула типа Гаусса.

Поставим задачу: как нужно подобрать точки и коэффициенты , чтобы квадратурная формула

была точной для всех полиномов f(x) наивысшей возможной степени N.

Т.к. в нашем распоряжении имеется 2n постоянных и (i=1, 2, …, n), а полином степени 2n-1 определяется 2n коэффициентами, то эта наивысшая степень в общем случае, очевидно, равна N=2n-1.

Квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности называют квадратурными формулами типа Гаусса.

Формула Гаусса.

Квадратурная формула Гаусса

Имеет своими узлами корни многочлена Лежандра

.

Коэффициенты легко вычисляются по формуле

Отметим важнейшие свойства полиномов Лежандра:

1)

2) (k< n, где — любой полином степени k< n);

3) полином Лежандра имеет n различных и действительных корней, которые расположены на интервале (-1; 1).

Приведем первые пять многочленов Лежандра

Приведем узлы и коэффициенты формулы Гаусса для n=1, 2, 3, 4.

n = 1:

n = 2:

n = 3:

n = 4:

Для остатка формулы Гаусса имеет место представление

Приведение отрезка [a, b] к стандартному отрезку [-1, 1] осуществляется с помощью линейного преобразования

,

где

Пример. Квадратурная формула Гаусса имеет вид:

,

где и — узлы и веса квадратурной формулы.

При вычислении интеграла

следует сделать замену переменной . Тогда формула Гаусса примет вид

,

где .

Для остатка будет представление .

По формуле Гаусса при n = 5 вычислить

.

Решение. Сделаем замену переменной . Получим интеграл

.

Составим таблицу значений подынтегральной функции

i
	-0.906179846 -0.538469310 0.538469310 0.906179846	0.24945107 0.23735995 0.2 0.15706261 0.13100114	0.236926885 0.478628670 0.568888889 0.478628670 0.236926885

По формуле Гаусса при n = 5 находим

Для сравнения приведем точное значение

Пример. Вычислить интеграл

,

по формуле Гаусса, применяя для оценки точности двойной пересчет (при )

Решение. Формула Гаусса имеет вид

где , (i=1, 2, …, n).

В данном примере

,

а значения и берем из таблицы квадратурных коэффициентов Гаусса:

n = 1:

n = 2:

n = 3:

n = 4:

n = 5:

Вычисления располагаем в таблице. При n = 4 имеем:

i
	0.34785 0.65215 0.65215 0.34785	-0.86114 -0.33998 0.33998 0.86114	1.6764 1.9630 2.3370 2.6236	1.2366 1.2291 1.2154 1.2042	0.43015 0.80155 0.79264 0.41887
	=2.44321

Следовательно,

.

При n = 5 имеем:

i
	0.23693 0.47863 0.56889 0.47863 0.23693	-0.90618 -0.538469 0.538469 0.90618	1.6516 1.8538 2.1500 2.4462 2.6484	1.2370 1.2324 1.2225 1.2111 1.2032	0.2903 0.58988 0.69549 0.57968 0.28508
	=2.44321

Следовательно,

Совпадение результатов свидетельствует, что

,

где все знаки верные.