Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей

(19)

причем должно нарушаться хотя бы одно из равенств

,

чтобы эти плоскости пересекались.

Другой способ задания прямой:

(20)

каноническими уравнениями, где М₀(x₀, у₀, z₀) - точка, через которую проходит прямая в направлении вектора = {1, т, п}. Тогда условия параллельности, перпендикулярности и угол между прямыми могут быть получены как соответствующие условия для направляющих векторов этих прямых.

Из (20) могут быть получены уравнения прямой, проходящей через две точки М₁{x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂)

(21)

и параметрические уравнения прямой:

. (22)

Если прямая задана уравнениями (19), то можно получить канонические уравнения этой прямой, если взять какую-нибудь точку, задавая, например, х₀ и отыскивая соответствующие у₀ и z₀ из системы (19), и получить направляющий вектор прямой

Если прямая задана уравнениями (20), а плоскость общим уравнением (14), то условие параллельности прямой и плоскости

Аl + Вт+Сп = 0, (23)

а условие перпендикулярности

.

Пример 4. Привести уравнение прямой

к каноническому виду.

Решение. Найдем какую-нибудь точку на этой прямой. Пусть х = 0, тогда система примет вид

.

Отсюда y=-2, . Получим точку М_о (0; - 2; )Найдем направляющий вектор

Канонические уравнения прямой

Пример 5. Составить уравнения движения точки M(x, y, z), которая имеет начальное положение М_о(1; -2; 4), движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора = {2; 3; 6} со скоростью , .

Решение. Тогда . Искомые уравнения будут

Пример 6. Найти расстояние точки М₀(1; 2; 0) от прямой

Решение. Проведем через точку М_о плоскость α, перпендикулярную данной прямой и найдем М₁ - точку пересечения плоскости α с данной прямой. Тогда искомое расстояние будет расстоянием от М_о до М₁. Для плоскости α воспользуемся уравнением вида (13), так как известна точка М₀(1; 2; 0) на ней лежащая и нормальным вектором может служитьнаправляющий вектор прямой а= {2, 5, 1}. Получим

2(х -1) + 5(у - 2) + 1(z- 0) = 0,

или

2x + 5y + z-12 = 0.

Найдем точку пересечения плоскости α и данной прямой, решив систему из уравнений плоскости α и параметрических уравнений данной прямой:

Исключая x, y, z, найдем t=-0, 5. Тогда х=1, y=1, 5, z=2, 5. Точка М₁(1; 1, 5; 2, 5). Расстояние М₀М₁:

(лин.ед.).

Пример 7. Найти угол между прямой

и плоскостью

х + 2у - 3z - 1 = 0.

Решение. Рассмотрим нормальный вектор плоскости = {1; 2; -3} и направляющий вектор прямой = {2; 3; 5}. Косинус угла между этими векторами равен синусу угла между прямой и плоскостью:

,

.