Вступление. Прежде всего оговорим следующее: мы изучаем методы аналитической геометрии, в которой вместо реальной физической точки на плоскости рассматривается пара чисел

ГЛАВА 1. Прямая на плоскости

Прежде всего оговорим следующее: мы изучаем методы аналитической геометрии, в которой вместо реальной физической точки на плоскости рассматривается пара чисел - ее координат, а вместо прямой - ее уравнение, содержащее переменные и в первой степени. При этом прямоугольная система координат предполагается уже введенной.

Известны три вида уравнений плоской прямой:

- уравнение прямой с угловым коэффициентом;

- общее уравнение прямой;

- уравнение прямой в отрезках.

Эти уравнения при необходимости легко преобразуются друг в друга, и эти преобразования при решении конкретной задачи можно делать многократно.

Прежде, чем приступить к решению конкретных примеров, первый и последний раз в этом пособии вспомним, как нарисовать прямую линию по ее уравнению.

Пример 1. Нарисовать прямую .

Решение. Самый известный способ - найти две точки, заведомо лежащие на прямой, и провести через них прямую. Выбирать эти точки можно разными способами.

Способ 1. В качестве двух искомых точек возьмем точки пересечения с осями координат и . Вычисления оформим в виде таблицы.

Получаем искомые точки: и . Искомая прямая изображена на Рис. 1.

Способ 2. Возьмем те же две точки пересечения с осями координат, но найдем их иначе, без таблицы. Для этого общее уравнение преобразуем к уравнению в отрезках. Вычисления оформим в виде цепочки преобразований.

Учитывая, что под x в знаменателе стоит абсцисса точки пересечения с осью , а под y - ордината точки пересечения с , получаем те же две точки, что при первом способе, а именно, и .

Замечание. Описанные способы выбора точек удобны не всегда. В частности, когда свободный член C в уравнении значительно больше коэффициентов и , то точки пересечения с осями и могут получиться далеко удаленными от начала координат, что неудобно для рисования чертежа. Пусть, например, требуется нарисовать прямую : .

. Для этой прямой точки пересечения с координатными осями - это точки и . В этом случае гораздо удобнее взять два небольших по абсолютной величине значения, например, и построить таблицу