Взаимное расположение прямых на плоскости .

Пусть прямые и заданы их общими уравнениями:

;

■ Пучок прямых - это бесконечное множество прямых, которые проходят через точку пересечения двух данных непараллельных прямых. Аналитически пучок прямых задается уравнением

,

где коэффициент - это любое действительное число.

Пример 10. Написать уравнение высоты треугольника, образованного прямыми ; ; , если известно, что высота опущена из точки пересечения первых двух прямых на третью.

Решение. Первые две прямые образуют пучок прямых, уравнение которого имеет вид: . Раскроем скобки и приведем подобные относительно и : . Искомая высота является прямой этого пучка. Ей соответствует свой параметр l, который и нужно найти. Выпишем нормальный вектор прямой пучка: . Нормальный вектор третьей стороны треугольника имеет вид: . Поскольку высота и третья сторона перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы, а значит . Отсюда следует, что . Подставим найденное значение параметра в общее уравнение прямой пучка: или после сокращения на 2 получим .

■ Признак параллельности прямых:

. (10)

Используя эту пропорцию, можно доказать, что уравнения параллельных прямых можно преобразовать к такому виду, когда они отличаются только свободными членами.

;

, где

Пример11. Через точку провести прямую, параллельную
прямой .

Решение. Так как искомая прямая параллельна данной, то ее уравнение должно отличаться от уравнения данной прямой только свободным членом, т. е. .Так как точка по условию лежит на искомой прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой, т.е. .

В итоге уравнение искомой прямой .

■ Признак перпендикулярности прямых:

(11)

Последнее равенство позволяет ввести ¢ ¢ механический¢ ¢ способ построения уравнения прямой перпендикулярной данной прямой. Для этого рассмотрим один частный способ построения вектора перпендикулярного данному.

Пусть есть вектор . Построим новый вектор , поменяв местами координаты у данного вектора и изменив знак у одной из координат, например, у первой: . Очевидно, что перпендикулярен , так как .

Таким образом, чтобы получить вектор, перпендикулярный данному, нужно у данного вектора координаты переставить местами и у одной из них поменять знак.

Правило построения уравнения прямой перпендикулярной данной практически повторяет правило построения вектора перпендикулярного данному, а именно: чтобы построить уравнение прямой перпендикулярной данной прямой, нужно у данной поменять местами коэффициенты при и и у одного из них изменить знак.

Пример12. Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно к данной прямой.

Решение. Уравнение искомой прямой с точностью до свободного члена имеет вид: . Так как точка , то ее координаты должны удовлетворять ее уравнению, т.е. . Отсюда и уравнение искомой прямой окончательно примет вид .

■ Угол между прямыми:

(12)

Заметим, что, если получился положительным, то найден косинус острого угла между прямыми; если же отрицателен, то он равен косинусу тупого угла (Рис. 7).

■ Расстояние от точки до прямой
находится по формуле

(13)

Пример13. Даны вершины треугольника , и . Найти длину и уравнение высоты, опущенной из вершины
на сторону (Рис.8).

Решение. Найдем уравнение
стороны :

Если обилие минусов в полученном уравнении Вам не нравится, то можно умножить обе части этого уравнения на (-1).
Новое уравнение задает ту же сторону .

Поскольку высота перпендикулярна стороне , то ее уравнение с точностью до свободного члена можно получить из уравнения описанным выше способом, а именно, переставив коэффициенты при x и y и поменяв знак у одного из них: . Для вычисления подставим в это уравнение координаты точки : . Тогда окончательно

Далее заметим, что длина высоты из вершины в точности равна расстоянию от этой вершины до стороны . Поэтому

.

■ Расстояние между параллельными прямыми.

Если прямые параллельны, то расстояние между ними считается равным расстоянию от любой точки на одной прямой до второй прямой. Но есть и другая формула. При ее выводе использован тот факт, что уравнения параллельных прямых можно привести к такому виду, когда они отличаются только свободными членами, т.е.

;

, где

Тогда (14)

Пример14. Две противоположные стороны квадрата лежат на прямых и . Найти площадь этого квадрата.

Решение. Для вычисления площади этого квадрата достаточно найти расстояние между этими прямыми. Чтобы воспользоваться формулой (14), нужно уравнения прямых преобразовать к такому виду, когда они будут отличаться только свободными членами. Этого можно добиться либо умножив на 2 первое уравнение, либо поделив на 2 второе. Первый вариант предпочтительнее только потому, что он не дает дробных коэффициентов. После преобразования получаем

;

.

Тогда , а значит площадь квадрата