Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Вывод уравнения плоскости при разных способах ее задания.
|
|
■ Уравнение плоскости, проходящей через три заданных точки 
, 
и 
, не лежащие на одной прямой.
(15)
Чтобы получить общее уравнение плоскости 
, нужно символьно вычислить этот определитель, например, разложив его по первой строке.
Пример16. Даны вершины тетраэдра: 
, 
, 
и 
. Найти уравнение грани 
.
|
|
|
|
Обозначим 
- произвольная точка плоскости, в которой лежит основание .
Þ
Þ 
Þ 
Þ 
.
Окончательно 
.
■ Уравнение плоскости, проходящей через данную точку 
перпендикулярно данному вектору 
(16)
Пример17. Даны вершины тетраэдра: 
, 
, 
и 
. Найти уравнение плоскости, проходящей через вершину 
перпендикулярно ребру 
.
Решение. Искомая плоскость 
изображена на Рис 13. Так как по условию плоскость перпендикулярна боковому ребру , то вектор 
перпендикулярен плоскости треугольника 
. Точка 
.
Тогда 
Þ
Þ 
.
Пример 18. Известно, что точки: 
и 
симметричны относительно некоторой плоскости 
. Найти уравнение этой плоскости.
|
Поскольку по условию точки
и 
симметричны относительно плоскости , то они лежат на перпендикуляре к этой плоскости, проходящем через и . Так как и равноудалены от плоскости , то эта плоскость проходит через середину отрезка 
- точку 
. Нарисуем вектор 
и введем его аналитически 
. Вычислим координаты точки : 
. По формуле (16) построим уравнение искомой плоскости
Þ
/ поделим на (- 4) / Þ
Þ 
.
■ Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум непараллельным векторам 
и 
.
(17)
Замечание. Решение многих задач на составление уравнения плоскости на практике сводится к поиску трех компланарных векторов. Их смешанное произведение, как известно, равно нулю. В координатах смешанное произведение вычисляется с помощью определителя 3-го порядка, строки которого и есть координаты этих трех векторов. Именно в этом и заключается смысл формул (15) и (17).
Пример 19. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно двум векторам 
и 
.
Решение. Прежде всего заметим, что векторы 
и 
не параллельны, так как их координаты не пропорциональны 
(Рис.15). Далее, обозначим 
- произвольная точка искомой плоскости. Нарисуем вектор 
и введем его аналитически 
. По условию искомая плоскость параллельна векторам и или, что то же самое, векторы и параллельны искомой плоскости. Это в свою очередь означает, что параллельным переносом векторы и можно переместить в плоскость вектора . Следовательно все три вектора , и компланарны и их смешанное произведение 
, что в координатах дает уравнение
Þ 
Þ
или 
.
■ Уравнение плоскости, проходящей через две заданных точки , параллельно заданному вектору 
(18)
Пример 20. Известно, что пространственная прямая 
, проходящая через точку 
, пересекает плоскость 
в точке 
. Найти уравнение плоскости 
, проектирующей прямую на данную плоскость (Рис. 16).
Решение. Две точки, через которые проходит искомая плоскость , уже имеются - это точки 
и 
. По этим точкам можно ввести вектор 
, заведомо лежащий в искомой плоскости . Далее, как всегда, введем точку - произвольную точку искомой плоскости. По ней и по точке, например, введем еще один вектор, также лежащий в искомой плоскости, а именно 
. Осталось найти вектор, которому плоскость параллельна или, что то же самое, который параллелен этой плоскости. Таковым является вектор 
- нормальный вектор данной плоскости . Введенные три вектора компланарны, а значит их смешанное произведение 
, что в координатах дает уравнение:
Þ 
.