Взаимное расположение пространственных прямых.

Взаимное расположение пространственных прямых будем исследовать по коэффициентам их канонических уравнений.

Пусть прямые заданы своими каноническими уравнениями:

;

■ Признак параллельности пространственных прямых:

(28)

Для практического решения задач очень полезен тот факт, что уравнения параллельных пространственных прямых могут быть преобразованы к такому виду, когда они отличаются только координатами точек, вычитаемых в числителе, т.е.

;

.

Чтобы убедиться, что это уравнения параллельных прямых, а не два уравнения одной и той же прямой, нужно координаты точки подставить в уравнение . Если в результате этой подстановки символьная пропорция не превратится в верные числовые равенства, то точка на принадлежит прямой и мы имеем дело с уравнениями двух параллельных прямых, а не с одной.

Пример 28. Даны три последовательные вершины параллелограмма: , , . Найти уравнения всех сторон параллелограмма и уравнение плоскости, в которой он лежит (Рис. 20).

Решение. Канонические уравнения сторон и найдем по формуле (26).

Так как и проходит через точку , то уравнения можно получить из уравнений , заменив в числителях координаты точки на координаты точки :

.

Аналогично выводится уравнение из уравнения :

.

Для вывода уравнения плоскости параллелограмма нужно найти три непараллельных вектора, лежащих в этой плоскости. Два вектора уже есть - это векторы и . Обозначим - произвольная точка искомой плоскости. Введем третий вектор

.

Смешанное произведение этих векторов запишем в координатах и приравняем его к нулю.

■ Угол между скрещивающимися пространственными прямыми:

(29)

■ Признак перпендикулярности скрещивающихся пространственных прямых:

(30)

Пример 29. Доказать перпендикулярность прямых

и

Решение. Из канонических уравнений имеем: .

Для прямой нужно перейти от общих уравнений к каноническим. Во-первых, найдем точку , заведомо лежащую на . Для этого положим, что . Затем решим систему уравнений

.

Окончательно получаем .

Теперь найдем направляющий вектор . Для этого вычислим

«Укоротим» этот вектор в 7 раз и новый «укороченный» вектор возьмем в качестве направляющего для .

Окончательно . Вычислим скалярное произведение

. Действительно, и перпендикулярны.