Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Взаимное расположение плоскостей.
|
|
Взаимное расположение плоскостей будем исследовать через взаимное расположение их нормальных векторов.
Пусть плоскости 
и 
заданы своими общими уравнениями, из которых сразу определяем нормальные векторы этих плоскостей:
Þ 
;
Þ 
.
■ Пучок плоскостей - это бесконечное множество плоскостей, которые проходят через прямую пересечения двух данных непараллельных плоскостей. Аналитически пучок плоскостей задается уравнением
,
где коэффициент 
- это любое действительное число.
Пример 21. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 
и прямую 
Решение. Идея решения - найти искомую плоскость как отдельную плоскость пучка плоскостей (Рис. 17). Для этого от общих уравнений прямой 
перейдем к уравнению пучка плоскостей, проходящих через :
: 
.
Приведем подобные относительно 
, 
и 
:
.
Уравнение искомой плоскости получается из этого уравнения при каком-то конкретном значении коэффициента l. Найдем это значение. Для этого координаты точки 
подставим в уравнение пучка:
.
Найденное значение подставим в общее уравнение пучка:
.
Для упрощения умножим все уравнение на 7:
.
■ Признак параллельности плоскостей:
. (19)
Так же как и у плоских прямых уравнения параллельных плоскостей могут быть приведены к такому виду, когда они отличаются только свободными членами, т. е.
;
, где 
.
■ Расстояние между параллельными плоскостями:
(20)
■ Признак перпендикулярности плоскостей:
(21)
По этой формуле, например, можно проверить правильно ли мы нашли проектирующую плоскость в предыдущем примере.
Пример22. Проверить перпендикулярна ли плоскость 
плоскости 
.
Решение. По уравнениям плоскостей строим их нормальные векторы: 
и 
. Вычислим их скалярное произведение:
. Действительно, проектирующая плоскость в примере 20 была найдена верно.
■ Угол между плоскостями:
(22)
■ Расстояние от точки 
до плоскости 
находится по формуле
(23)
Пример 23. Найти расстояние от точки 
до плоскости
.
Решение.
Для решения достаточно подставить числовые данные задачи в формулу (23).
.