Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

■ Признак параллельности.

■ Признак перпендикулярности.

■ Угол между прямой и плоскостью.

Замечание. По определению угол между прямой и плоскостью - это угол j между этой прямой и ее проекцией на плоскость . Но для вычислений это определение неудобно. Поэтому вместо угла j ищутугол y - угол между прямой (а точнее, ее направляющим вектором) и нормальным вектором плоскости . Поскольку , то .

(31)

Пример 30. Даны вершины тетраэдра: , , и . Найти угол, образованный ребром с плоскостью основания .

Решение. Канонические уравнения бокового ребра и уравнение плоскости основания были выведены ранее в примерах 16 и 26:

; .

Из этих уравнений сразу находим - направляющий вектор ребра и - нормальный вектор плоскости основания . Осталось координаты этих векторов подставить в формулу (31):

Следовательно .

■ Точка пересечения прямой и плоскости.

Схема решения такова:

1) от канонических уравнений прямой переходим к ее параметрическим уравнениям;

2) полученные параметрические формулы подставляем в уравнение плоскости; находим параметр ;

3) найденное значение параметра подставляем в параметрические формулы прямой ;

4) найденные значения , , и являются координатами точки пересечения прямой с плоскостью .

Пример 31. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

и

Решение. Обозначим Q точку пересечения с . Перейдем к параметрическим уравнениям прямой :

Выражения для , , через подставим в уравнение плоскости и найдем параметр : .

Подставим в выражения , , через и найдем координаты точки Q:

.

Окончательный ответ: .

■ Проекция точки на прямую в пространстве.

Прежде всего подчеркнем, что в пространстве точка проектируется на прямую с помощью перпендикулярной плоскости (Рис. 25), а не с помощью перпендикулярной прямой, как на плоскости.

Схема решения такова:

1) строим плоскость, проходящую через точку А перпендикулярно прямой (направляющий вектор прямой берется в качестве нормального к плоскости );

2) от канонических уравнений перейдем к параметрическим уравнениям;

3) параметрические уравнения подставляем в уравнение плоскости и находим то значение параметра , которое соответствует точке пересечения с . Эта точка и является проекцией точки на прямую .

Пример 32. Найти проекцию точки на прямую

.

Решение. Найдем уравнение проектирующей плоскости:

Перейдем к параметрическим уравнениям прямой :

Выражения для , , через подставим в уравнение проектирующей плоскости и найдем параметр :

.

Найдем точку пересечения с , подставив в параметрические
уравнения :

.

Окончательный ответ: .

■ Проекция точки на плоскость в пространстве.

Схема решения такова:

1) опускаем перпендикуляр из точки А на плоскость , т.е. строим его канонические уравнения;

2) от канонических уравнений этого перпендикуляра переходим к параметрическим уравнениям;

3) полученные параметрические формулы подставляем в уравнение плоскости; находим параметр ;

4) найденное значение параметра подставляем в параметрические формулы перпендикуляра; найденные значения , , и являются координатами проекции точки А на плоскость .

Пример 33. Найти проекцию точки на плоскость, проходящую через точки: , , .

Решение. Найдем уравнение плоскости треугольника (Рис. 27):

Для удобства дальнейших вычислений умножим все уравнение на (-1), тогда

Из точки опустим перпендикуляр на плоскость треугольника и найдем канонические уравнения этого перпендикуляра:

.

От этих канонических уравнений перейдем к параметрическим уравнениям: .

Полученные выражения , , через t подставим в уравнение плоскости треугольника и найдем значение параметра:

Þ .

Подставим найденное значение в параметрические формулы :

. В итоге .

Пример 34. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку .

Решение.

Способ 1. Идея решения - найти три три компланарных вектора (Рис. 28).

Из канонических уравнений прямой имеем данные: - направляющий вектор прямой ; - точка, лежащая на прямой . Так как , то .

Точки и лежат в искомой плоскости. Введем вектор . Он также лежит в искомой плоскости. Традиционно обозначим - произвольная точка плоскости . Введем вектор . Заметим, что вместо вектора можно было ввести вектор , который также принадлежит плоскости .

Таким образом, получили три компланарных вектора , и . Их смешанное произведение равно нулю, что в координатах дает уравнение:

или после деления на 2 .

Способ 2. Идея решения - найти три точки, заведомо лежащие в искомой плоскости. (Рис. 29). Две точки уже есть - это и . Найдем еще одну точку на прямой . Для этого пропорцию в канонических уравнених приравняем к : . Затем положим , разобьем пропорцию на три равенства и найдем: , и . Следовательно, . Тогда уравнение плоскости получится по формуле (15) из уравнения:

Для упрощения поделим все уравнение на (-2):

.

Способ 3. Идея решения - найти искомую плоскость как плоскость пучка плоскостей, проходящих через прямую .

“Разорвем” пропорцию на два уравнения: Тогда - общие уравнения . Построим уравнение пучка: . Координаты точки должны удовлетворять этому уравнению, т.е.

.

Подставим в уравнение пучка

.

Окончательно после деления на 3 получаем: .