Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Монотонная переменная. Теорема Вейерштрасса.
|
|
Определение. Последовательность {xn} не убывает (не возрастает), если 
для 
.
Определение. Последовательность {xn} возрастает (убывает), если xn + 1 > xn(xn + 1 < xn) для .
Определение. Строго возрастающая или строго убывающая последовательность называется монотонной последовательностью.
Теорема. Если { xn } - не убывает и ограничена сверху, то она сходится. Если { xn } - не возрастает и ограничена снизу, то она сходится.
Доказательство. При выполнении условия теоремы последовательность xn ограниченна.
В силу ограниченности 
, 
1) Если последовательность не убывает, то 
2) Если последовательность не возрастает, то 
Рассмотрим первый случай.
По определению sup: 
Т.к. { xn } не убывает, то при 
при 
при 
.
Второй случай рассматривается аналогично.