Геометрический смысл производной.

Пусть – некоторая кривая, – точка на кривой .

Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , если точка стремится к , двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная

2. Правила дифференцирования

1) Производная константы равна нулю, т.е , где C – константа.

2) Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных, т.е ..

3) Производная произведения находится по правилу: .

4) , где - константа.

5) Производная дроби находится по правилу: .

6) Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную в точке , причем (правило дифференцирования сложной функции).

7) Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке , причем . Если существует обратная функция , то она имеет производную в точке и (производная обратной функции).

3. Производные обратных функций.

Пусть - дифференцируемая функция от аргумента x в некотором интервале . Если в уравнении y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция , где - функция обратная данной.

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е

4. Производные сложных функций

" Двухслойная" сложная функция записывается в виде

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.
Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!

Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких " слоев", вложенных иерархически друг в друга.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела " Дифференцирование".

5. И 6. Дифференциалы первого порядка и высших порядков

Дифференциалом первого порядка функции называется главная, линейная относительно аргумента часть. Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента: .

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

.

Основные свойства дифференциала:

где .

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то и .

Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.

Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка: .

Аналогично: .

.

Если и - независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам

.

7) Максимумы и минимумы функций, супремум и инфинум.

Экстре́ мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализевыделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Пусть дана функция и — внутренняя точка области определения f. Тогда

§ x ₀ называется точкой локального максимума функции f, если существует проколотая окрестность такая, что

§ x ₀ называется точкой локального минимума функции f, если существует проколотая окрестность такая, что

Если неравенства выше строгие, то x ₀ называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

§ x ₀ называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

§ x ₀ называется точкой абсолютного минимума, если

Значение функции f (x ₀) называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Функция f, определённая на множестве M, может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например,

§ Из Лемма Ферма вытекает следующее:

Пусть точка x ₀ является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки x ₀.

Тогда либо производная не существует, либо .

верхняя и нижняя граница какого-либо упорядоченного множества.
как ещё объяснить?

значения супремума и инфинума могут принадлежать множеству или находиться вне его границ.

пример: множество всех чисел больше 5
нижняя граница (инфинум) = 5 (не принадлежит множеству)
супремума нет, так как множество не ограничено сверху.

множество всех положительных чисел не больше 6
супремум = 6 (принадлежит множеству)
инфинум = 0 (не принадлежит)

8) Теорема ферна

Вели́ кая теоре́ ма Ферма́ (или Последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики; её условие формулируется на понятийном уровне среднего общего образования, а доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Окончательно доказана в1995 году Эндрю Уайлсом.

Для любого натурального числа n > 2уравнение

не имеет натуральных решений a, b и c.

9) Теорема Ролля

Теорема 1. (Теорема Ролля) Пусть функция f (x)

1. непрерывна на отрезке [ a, b ];

2. дифференцируема в интервале (a, b);

3. на концах отрезка [ a, b ] принимает равные значения.

Тогда существует точка c Î (a, b) такая, что f '(c) = 0.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 118.