Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x₀, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f(x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x₀ ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f(x₀)

Здесь f ’(x₀) — значение производной в точке x₀, а f(x₀) — значение самой функции.

Æ Асимптотой графика функции называется прямая, к которой график функции неограниченно приближается при удалении точки графика от начала координат и ее не пересекает.

График функции может иметь асимптоты, но может и не иметь их.

Асимптоты могут быть трех видов.

Æ Вертикальные асимптоты. Их проще всего определять. Надо уметь находить точки разрыва второго рода. Уравнение вертикальной асимптоты записывается , как уравнение прямой, параллельной оси . При этом .

Æ Горизонтальные асимптоты. Чтобы их найти, надо уметь вычислять . Предположим, что или , причем . Тогда говорят, что график функции имеет горизонтальную асимптоту при либо при . В таком случае горизонтальная асимптота записывается уравнением , как уравнение прямой, параллельной оси .

Æ Наклонные асимптоты записываются уравнением . Это уравнение прямой с угловым коэффициентом . Величина - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси . Значения , надо определить, исходя из заданной функции, асимптоты которой отыскиваем.

œ Как найти коэффициенты , уравнения наклонной асимптоты ?

Прямые и параллельны. Прямая проходит через начало координат. Из уравнения находим . Если коэффициент будет найден, то из уравнения определим коэффициент : . Из определения асимптоты и полученных выражений для , приходим к формулам, позволяющих вычислить коэффициенты , уравнения наклонной асимптоты графика функции .

; .