Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа

Представим формулу (1) в виде

Число

есть угловой коэффициент прямой, проходящей через концы графика функции y = f (x) — точки (a, f (a)) и (b, f (b)), а f '(c) — угловой коэффициент касательной к этому графику в точке
(c, f (c)). Из формулы (2) следует, что существует точка с Î (a, b), в которой касательная к графику функции f (x) параллельна прямой, проходящей через концы графика (или совпадает с ней) (рис. 2).

11. теорема Коши, правило Лопиталя.

Теорема 3. (Теорема Коши) Пусть функции f (x) и g (x)

1. непрерывны на отрезке [ a, b ];

2. дифференцируемы в интервале (a, b);

3. " x Î (a, b) g '(x) ≠ 0.

Тогда существует точка c Î (a, b) такая, что

Формула (3) называется формулой Коши.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x → а, причем

(1)

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

12. правило отыскания экстремумов функции

Для того, чтобы найти точки экстремума и экстремальные значения функции z=f(x, y) в заданной области, нужно:

1) приравнять частные производные к нулю

и найти действительные корни этой системы двух уравнений. Каждая пара корней определяет стационарную точку функции. Среди всех стационарных точек нужно взять те, которые лежат в заданной области;

2) вычислить значение выражения ,

где в каждой стационарной точке.

При этом

а) если , то имеем экстремум: максимум при A< 0 (C< 0),

минимум при A> 0 (C> 0).

б) если , то экстремума нет;

в) если , то требуется дополнительное исследование;

3) вычислить экстремальные значения, подставляя в выражение функции координаты точек экстремума.