Уравнение прямой

1. Уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором

Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат и пусть в этой системе известны координаты некоторой точки прямой и направляющего вектора этой прямой (рис. 3). Напишем уравнение прямой d. Очевидно, точка лежит на прямой d тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Так как вектор имеет координаты то по теореме:

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда

(1)

Если точка M лежит на прямой d, то ее координаты удовлетворяют уравнению (1), а если она не лежит на прямой, то ее координаты не удовлетворяют этому уравнению, поэтому уравнение (1) является уравнением прямой d. Уравнение (1) можно также записать в виде: (1^/)

2. Уравнение прямой, заданной двумя точками

(2)

3. Уравнение прямой с угловыми коэффициентами

Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат и дана прямая d, пересекающая ось ординат. Если - направляющий вектор прямой, то и не коллинеарны, поэтому . Число называется угловым коэффициентом прямой d.

Угловой коэффициент k имеет простой геометрический смысл, если прямая задана в прямоугольной системе координат . В самом деле, пусть - направляющий вектор этой прямой (см. рис.).

где . Следовательно,

Таким образом, число k позволяет определить угол

, поэтому k называется угловым коэффициентом прямой.

Составим уравнение прямой, заданной в аффинной системе координат точкой и угловым коэффициентом k. Пусть -направляющий вектор прямой. Тогда согласно формуле (1^/) уравнение прямой имеет вид: или, разделив на а₁, получаем: (3) Если в качестве точки взять точку пересечения прямой d с осью ординат, то уравнение (3) примет вид:

(4) Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В виде (4) можно записать уравнение любой прямой, пересекающей ось ординат.

4. Параметрическое уравнение прямой

Выберем какую-нибудь аффинную систему координат и зададим прямую d направляющим вектором и точкой .Точка принадлежит прямой тогда и только тогда, когда , т. е. когда существует такое число t, что . Это соотношение в координатах запишется так: или (5) Эти равенства называются параметрическими уравнениями прямой, а t ее параметром.