Устойчивость решений по Ляпунову

Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):

(i = 1…n).

, где y – вектор с координатами (y₁, …, y_n), y = (y₁, …, y_n), f = (f₁, …, f_n). Норма: Пусть начальные данные задаются при x = x₀.

Опр: решение y = y⁰(x) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, при , если > 0 , x ≥ x₀ для любого решения этой системы.

|| y(x) – y⁰(x)|| < при || y(x₀)– y⁰(x₀)| < .

Если, кроме того, при достаточно малых || y(x) – y⁰(x)||, то решение (2) называется асимптотически устойчивым при . При этом предполагается, что функция y⁰(x) определяется для всех x ≥ x₀, а система (1) определена в некоторой окрестности y = y⁰(x), вида: || y(x) – y⁰(x)|| < M при x ≥ x₀.

Очевидно, всегда можно рассматривать случай y⁰(x) 0, взяв вместо y(x) новую неизвестную функцию y(x) – y⁰(x). Функции f_i, y_i и х считаются действительными.

Устойчивость означает, что малые изменения начальных условий приводят к малому отличию решений при x ≥ x₀, а асимптотическая устойчивость означает, что при малом отличии начальных данных, решения неограниченно приближаются к y⁰(x) при .

Пример 1: (a = const, a ≠ 0). Начальное условие: y(x₀) = y₀.

Решение: y(x₀) = 0, y = 0.

Решение устойчиво асимптотически.

При исследовании устойчивости и асимптотической устойчивости важную роль играет теорема Ляпунова.

Теорема Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости:

Пусть для некоторого > 0 правая часть системы (1)определена и непрерывна при и || y || < и f(x, 0) 0. Пусть при тех же значениях y существует непрерывно дифференцируемая «функция Ляпунова»: V(y) ≥ 0 и равна нулю лишь в начале координат.

а) Если то нулевое решение y(x) 0 системы (1) устойчиво.

б) Если где ≥ 0 – некоторая непрерывная функция (W(0)=0, W(y)≠ 0 при y≠ 0), равна нулю лишь в начале координат, то нулевое решение асимптотически устойчиво.

Теорема имеет простой геометрический смысл. Пусть n=2 и пусть линии V=c (c=const) замкнутые линии, содержащие начало координат. Причем линия с меньшим значением с лежит внутри линии с большим значением с. Тогда (3) означает, что интегральные линии, имеющие общую точку с линией V=c, не выходят из области, ограниченной этой линией. Откуда и следует устойчивость нулевых решений y₁ 0, y₂ 0 (т.е. начало координат на плоскости y₁, y₂).

При выполнении более сильного условия (4), интегральные линии пересекают линию V c снаружи внутрь (см. рис.), т.к.

( > 0).

, следовательно, все интегральные линии, при , → к началу координат, что означает асимптотическую устойчивость нулевого решения.

Теорема Четаева о неустойчивости:

Если существует дифференцируемая функция V(y), удовлетворяющая в некотором замкнутом шаре T_r условиям:

1) в сколь угодно малой окрестности U начала координат область U₀, в которой V> 0, причем V=0 на лежащей в U части границы U₀;

2) в области U₀ производная , причем в области, где , производная ,

то нулевое решение системы (1) неустойчиво. y₁ 0, y₁ 0, …, y_n 0.

Зад. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы:

Пример 1: ( – эта пара функций образует нулевое решение системы)

(функция V-неотрицательная, имеет непрерывные частные производные, обращается в 0 в единственной точке)

Условие (3) выполнено, нулевое решение устойчиво. Асимптотической устойчивости нет. Интегральными линиями будут окрестности, которые при не → к нулю.

Метод функций Ляпунова оказывается универсальным и эффективным методом для широкого круга задач теории устойчивости. Недостаток метода в том, что не существует достаточно общего конструктивного способа для нахождения функций Ляпунова.

В простейших случаях функции Ляпунова следует искать в виде:

Пусть функции (1) f_i имеют вид:

где

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению:

Пусть

При всех x ≥ x₀ и при всех y, с достаточно малой нормой ||y||, норма (α, М - const), и функции g_i непрерывны по совокупности переменных. Тогда, если действительные части всех корней уравнения | λ E – A | = 0 отрицательны, то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво. Если хотя бы один из корней имеет положительную действительную часть, то нулевое решение не устойчиво. Без док-ва.

Для определения знака действительной части корня уравнения | λ E – A | = 0 нет необходимости решать это уравнение. Определитель нужно раскрыть и записать его в виде многочлена относительно λ: Для того, чтобы действительные части всех корней уравнения (5) были положительными, н. и д. выполнение одного из условий:

а) условие Гаусса – Гурвица: положительны все главные миноры матрицы Гурвица:

б) условие Льенара – Шипора: a_i > 0 (i=1…n), миноры ∆ _n-1 > 0, ∆ _n-3 > 0, ∆ _n-5 > 0, ….

∆ ₁ = , ∆ ₂ = ∆ ₃ = , ….