Уравнение прямой в пространстве. Пусть d – прямая в пространстве

Пусть d – прямая в пространстве. Любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой, называется ее направляющим вектором. Все эти векторы, вместе с нулевым вектором, образуют одномерное векторное подпространство, которое называется направляющим подпространством прямой d.

1) Каноническое уравнение прямой. Пусть в пространстве выбрана аффинная система координат и в этой системе известны координаты некоторой точки и координаты направляющего вектора прямой d. Условие коллинеарности и запишется так:

(1) – уравнение прямой d.

(2) – .

, (3) - прямая d параллельна оси Ox.

Уравнения (1), (2), (3) называются каноническими уравнениями прямой.

2) Уравнение прямой, заданной двумя точками.

(4)

3) Уравнение прямой, заданной двумя плоскостями. Пусть прямая d является линией пересечения плоскостей , которые в аффинной системе координат заданы уравнениями: (5) Точка лежит на прямой d, тогда и только тогда, когда ее координаты являются решением системы уравнений (5), поэтому эта система и является уравнениями прямой d. Обратно, любая система уравнений (5) представляет собой уравнения некоторой прямой пространства, если ранг матрицы равен двум. Лемма. Если в аффинной системе координат прямая, заданная уравнениями (5), то вектор является направляющим вектором этой прямой.

4) Параметрическое уравнение прямой. Пусть в пространстве выбрана аффинная система координат и зададим прямую d направляющим вектором и точкой . Точка M(x, y, z) пространства лежит на прямой d тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны, т. е. когда существует такое число t, что Это соотношение в координатах запишется: или

Эти равенства называются параметрическими уравнениями прямой, а t – параметром.