Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Простейшие типы точек покоя. Автономные динамические системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости
. (1) – это автономная система, т. к. правая часть от времени не зависит. - решение системы (1) Точку (a1, …, an) фазового пространства (x1, …, xn) будем называть точкой покоя (точкой положения равновесия) системы. (особая точка) Точка xi=0 – точка покоя. Пусть S(R) – шар Опр. Будем говорить, что точка покоя x1=0, …, xn=0 системы (1) устойчива, если для такая что траектория системы, начинающаяся в момент времени t=t0 в точке , все время остается в шаре . Точка покоя асимптотически устойчива, если: 1) она устойчива; 2) что каждая траектория системы, начинающаяся в точке стремится к началу координат, когда время неограниченно растет.
Пример 1:
С течением времени точки приближаются к началу координат. => точки покоя асимптотически устойчивы. Исследуем расположение траектории в окрестности точки покоя x=0, y=0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:
Предполагается, что определитель (0, 0) – точка покоя. Решение системы (2) будем искать в виде:
После нахождения λ из характеристического уравнения (3), величины α и β находятся из системы (*) с точностью до постоянного множителя. Возможные случаи: А) Корни λ 1, λ 2 характеристического уравнения (3) действительные и различные. Общее решение системы (2) имеет вид:
1) Пусть λ 1< 0, λ 2< 0.Точка покоя (0; 0) в этом случае асимптотически устойчива, т.к. => Точка покоя называется устойчивым узлом. При с2=0 из (4) имеем: Значит, траекториями являются лучи, входящие в начало координат с коэффициентами: Если с1=0, то получаются лучи, входящие в начало координат с коэффициентами: Пусть с1≠ 0 и с2≠ 0, |λ 1| > |λ 2|. при Т.е. все траектории, исключая лучи в окрестности точки покоя (0; 0) имеют направление луча:
2) Пусть λ 1> 0, λ 2> 0. Решение записано в виде (4). Если λ 1> 0, λ 2> 0, то расположение траектории такое же, как в предыдущем случае, но точки по траектории движутся в противоположном направлении. Точки такого рассматриваемого типа называют неустойчивым узлом.
3) Пусть λ 1> 0, λ 2< 0. В этом случае точка покоя неустойчива. Действительно, пусть в (4) с2=0, тогда: . => при движении по лучу точка уходит от точки покоя в -ть. Пусть в (4) с1=0, тогда: => при движении по лучу точка приближается к точке покоя. Пусть Тогда можно убедиться, что при движении траектория покидает окрестность точки покоя. В этом случае, точка покоя называется седлом. B) Корни λ 1, λ 2 характеристического уравнения (3) комплексные:
Общее решение системы (2) можно записать в виде:
где с1, с2 – постоянные коэффициенты; c1*, с2* - некоторые линейные комбинации этих постоянных. 1) То в (5) при а 2-е множители в (5) ограниченные периодические функции. В этом случае траекториями будут спирали, асимптотически приближающиеся к началу координат при Точка покоя x=0, y=0 асимптотически устойчива. Она называется устойчивым фокусом.
2) Этот случай переходит в предыдущий, если рассматривать не а В этом случае траектории не отличаются от предыдущих траекторий, но при движение происходит в обратном направлении. Точка покоя неустойчива. Она называется неустойчивый фокус.
3) Из (5) видно, что решением системы (2) будут периодические функции (т.к. в (5) 1-й множитель равен1, а функции периодические). Траекториями являются замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя, называемая в этом случае центром. Центр является устойчивой точкой покоя, однако асимптотической устойчивости нет, т.к.:
- этими кривыми являются логарифмические спирали, навивающиеся на начало координат, кот. достиг-ся в пределе при в зависимости от того, будет ли a< 0 или a> 0. В этом случае точка покоя называется фокусом. Если a=0, то ρ =с. Интегральными кривыми являются окружности с центром в начале координат. В этом случае точка покоя называется центром. С) λ 1=λ 2 . 1) λ 1=λ 2 < 0. .
2) λ 1=λ 2 > 0. неустойчивый вырожденный узел.
|