Практическое задание к теме 2. Интерполирование функций

Цель задания: изучение методов интерполирования функций, сравнительный анализ рассмотренных методов, практическое интерполирование функций на ЭВМ. Задания к работе.

1. Разработать схемы интерполирования функций методами Лагранжа, Ньютона, наименьших квадратов.

2. Написать, отладить и выполнить программы интерполирования функций (табл.1). Интерполирование провести любым из известных методов интерполирова-ния функций. Построить интерполяционную кривую и найти значение функции в указанной точке (в соответствии с вариантом задания).

Таблица 1

				Значения
	№1	№2	№3	№4	№5	№6	№7	№8
	х= -3, 5	х=0, 5	х=1, 25	х=0, 75	х=3, 12	х=8, 25	х= -7, 4	х=1, 8
-9	0, 1			-121		-140		-170
-8	-0, 1			-90		-97		-122
-7	-1			-65		-67		-82
-6	-1			-45		-44		-51
-5	-1, 5			-31	-2	-28		-36
-4	-1, 1			-18	-3, 3	-15		-19
-3	-0, 5			-10	-4	-8	-1	-9
-2	-0, 4			-4	-4, 4	-5	-2	-3
-1				-1	-3, 6	-3	-1
		-1			-2	-2	-1
		-2			0, 4	-0
					3, 6
		-3
		-4
		-6
		-11
		-18
		-28
		-42
		-61

				Значения
Хг	№9	№10	№11	№12	№13	№14	№15	№16
	х=7, 5	х=-1, 3	х=1, 97	х=9, 14	х=3, 2	х=5, 43	х= - 4, 2	х=8, 4
-9				-114			-47	-203
-8				-77			-38	-147
-7				-54			-29	-96
-6				-28			-20	-53
-5				-14			-13	-31
-4				-4			-11	-10
-3				-1			-5
-2							-2
-1				-1
				-2
				-2
				-1
							-2
							-7
							-10
							-15
							-24
							-30
						-4	-37

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функций, назовите об-­
ласти ее применения.

2. Какую функцию называют аппроксимирующей?

3. Охарактеризуйте интерполяционную формулу Лагранжа.

4. Приведите интерполяционные формулы Ньютона.

5. Приведите оценку остаточного члена для каждой из формул.

6. Опишите метод наименьших квадратов.

Литература основная: [1-4, 9, 10]; дополнительная: [13-15, 18, 19].

Практическое задание к теме 3. Приближенное вычисление интегралов

Цель задания: изучение различных методов вычисления определенных интегра­лов, практическое интегрирование функций на ЭВМ.

Задания к работе.

1. Разработать схемы интегрирования по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона.

2. Написать, отладить и выполнить программы интегрирования функций, приве-денных в табл. 2. Вычисления значения интеграла на отрезке [а, Ь] провести с задан-ной точностью (в соответствии с вариантом задания). Величину шага, обеспечи-вающего требуемую точность, определить с помощью двойного пересчета.

3. Определить относительную погрешность вычислений по формуле:

где I - точное значение интеграла, вычисленное через первообразную функции; - значение интеграла, полученное в результате применения конкретной формулы интегрирования.

Таблица 2

%№ п/п	Подынтегральная функция /(х)	Формулы численного интегрирования	Заданная точность	Интервал [а, Ь]	Первообразная функции Р(х)
I	II	III	IV	V	VI
		Трапеций		[0; 2]
	x sin 2x	Симпсона
		Симпсона		[0; 1]
		Симпсона		[1; 5]
		Трапеций
		Симпсона		[0, 2; 1]
		Симпсона		[0; 1]
	агсtg х	Симпсона		[0; 1]
	x ln x	Симпсона		[2; 6]
		Трапеций
		Симпсона		[0; 3]
		Симпсона
		Трапеций		[1; 7]
		Трапеций		[1; 3]

Контрольные вопросы

1. В чем состоит суть методов численного интегрирования функций?

2. Опишите формулу прямоугольников.

3. Охарактеризуйте метод трапеций.

4. Опишите формулу Симпсона.

5. Приведите оценку погрешности для каждого из методов на частичном отрезке и
на всем интервале интегрирования.

6. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на осно­
вании остаточных членов формул.

7. Как оценивается погрешности приближенного вычисления интегралов по пра­
вилу Рунге?

Литература основная: [2-4, 6, 8]; дополнительная: [13, 16, 18-20].