Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
|
|
Практическое задание к теме 6. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Цель задания: изучение методов численного интегрирования обыкновенных диф-ференциальных уравнений, практическое решение уравнений на ЭВМ, сравнительный анализ рассмотренных методов.
Задания к работе.
1. Составить схемы алгоритмов решения задачи Коши для обыкновенных диффе-ренциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта.
2. Написать, отладить и выполнить программы решения дифференциальных урав-нений, приведенных в табл. 5 (в соответствии с вариантом задания), методом Рунге-Кутта 4-го порядка точности. Предусмотреть в программе вычисление значений функции по заданному в таблице точному решению.
3. Результаты счета численным методом и по точному решению оформить в виде графика или таблицы.
4. Определить близость полученного заданным методом решения к точному зна -чению с помощью оценок:
7 = 1, 2,..., и,
5, = I > (у; - у; ) /.1 > (уг) - интегральная оценка.
1 = 1 / V 1=1
Здесь уг - точное решение, у{ - полученное приближенное решение.
Таблица 5
| № п/п | Дифференциальное уравнение | Начальные условия | Шаг И | Интервал интегрирования | Точное решение |
| I | II | III | IV | V | VI |
| у" -2у' + у = 0 | У(2) = 1 /(2) = -2 | 0, 2 | [2; Ю] | у = (7-3х)ех~2 | |
| у" -Зу' + 2у-2х + 3 = 0 | У(0) = 1 У'(0) = 2 | 0, 2 | [0; 8] | у = ех+х | |
| у" + у = 4ех | МО) = 4 /(0) = -3 | ОД | [0; 4] | у = 2соъх + 2ех - - 5 81П X | |
| х2у" + ху' = 0 | Я1) = 5 У(1) = -1 | 0, 05 | [1; 3] | у = 5-1пх | |
| у" -2у' = 2ех | XI) = " 1 /С) = о | ОД | [1; 5] | у = е2х~1-2ех +е-1 | |
| у" + 4у = созЗх | МО) = 0, 8 /(0) = 2 | ОД | [0; 4] | у = со82х + 81п2х--0, 2созЗх | |
| у" + 2у' + 2у = хе~х | уф) = о /(0) = 0 | ОД | [0; 4] | у = е~х(х-81пх) | |
| (1 + х2)/ + (/)2+1 = 0 | Х0) = 1 У(0) = 1 | 0, 05 | [0; 2] | у = 1-х + 2- 1п(1 + х) | |
| у" + 4у' + 4у = 0 | У(0) = 1 /(0) = -1 | ОД | [0; 4] | у = (\ + х)е-2х | |
| у" -3у' = е5х | МО) = 2, 2 У(0) = 0, 8 | 0, 02 | [0; 0, 8] | у = 2 + 0Хе3х +е5х) |
| х2у" -2у = 0 | XI) = 0, 83 /(1) = 0, 66 | ОД | [1; 5] | ;, = 0, 5х2+^- | |
| у" -5у' + 6у = ех | у(0) = 0 /(0) = 0 | 0, 02 | [0; 0, 8] | у = 0, 5(е3х+ех)-е2х | |
| у" + у = \ + еХ | Я0) = 2, 5 У(0) = 1, 5 | ОД | [0; 4] | У = СО8Х + 8ШХ + + 0, 5ех+1 | |
| х2у" + 2, 5ху'-у = 0 | XI) = 2 /С) = 3, 5 | ОД | [1; 5] | у = ъ4х X | |
| у" + у = Х2 -Х + 2 | Ж> = 1 /(0) = 0 | ОД | [0; 4] | У = СО8Х + 8ШХ + + х2-х | |
| у" --у' = х X | ЯО = 0 /(1) = 0 | 0, 05 | [1; 3] | х4 х3 1 у =----------- +--- 4 3 12 |
Контрольные вопросы
1. Дайте определение обыкновенного дифференциального уравнения. Что значит
решить дифференциальное уравнение?
2. Сформулируйте задачу Коши для одного дифференциального уравнения и для
системы дифференциальных уравнений.
3. В чем состоит суть численных методов решения обыкновенных дифференци
альных уравнений?
4. Охарактеризуйте метод Эйлера.
5. Опишите методы Рунге-Кутта.
Литература основная: [1, 2, 5, 9, 10]; дополнительная: [13, 16-18].