Пример. Найти сумму членов ряда

Найти сумму членов ряда

Решение.

Находим частичные суммы членов ряда:

^; ; ;

Запишем последовательность частичных сумм: .

Общий член этой последовательности есть . Следовательно,

Последовательность частичных сумм имеет предел, равный . Итак, ряд сходится и его сумма равна .

Геометрический ряд. Рассмотрим несколько случаев нахождения частичной суммы первых n членов ряда , образованного из членов геометрической прогрессии.

1) . Для нахождения частичной суммы S_n воспользуемся формулой суммы членов убывающей геометрической прогрессии:

где a₁ – первый член, a_n=a₁q^n-1 – n –ый член, q – знаменатель прогрессии.

Следовательно

Находим сумму ряда:

Поскольку первое слагаемое под знаком предела является постоянным, а второе – бесконечно малой величиной (qⁿ-> 0 при n-> ). Таким образом, в данном случае ряд сходится, а его сумма есть .

2) . Частичную сумму S_n найдём по формуле суммы членов возрастающей геометрической прогрессии:

Тогда сумма ряда

Так как первое слагаемое под знаком предела есть бесконечно большая величина ( при ). В этом случае ряд расходится.

3) q=1. Находим

Следовательно . Значит, в данном случае ряд расходится.

4) q = -1. Имеем.

S₁ = a

S₂ = a – a =0

S₃ = a – a + a = a

S₄ = a – a + a – a = 0

..............

Т.е. S_n=0 при n четном и S_n= a при n нечётном. Отсюда следует, что последовательность частичных сумм не имеет предела и, значит, ряд расходится.

Итак, данный ряд сходится при и расходится при . Ряд вида будем называть геометрическим рядом.

Гармонический ряд. Ряд вида

называется гармоническим.

Запишем частичную сумму этого ряда:

Сумма S_n больше суммы представленной следующим образцом:

Или

Если , то

, или .

Следовательно, если , то , т.е. гармонический ряд расходится.