Раздел 3. Интегральное исчисление функции одной переменной

В результате изучения раздела студент должен:

знать:

¾ определение первообразной;

¾ определение неопределенного интеграла и его свойства; формулы интегрирования;

¾ способы вычисления неопределенного интеграла;

¾ определение определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства;

¾ способы вычисления определенного интеграла;

¾ понятие криволинейной трапеции, способы вычисления площадей криволинейных трапеций с помощью определенного интеграла;

уметь:

¾ находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным с помощью основных свойств и простейших преобразований;

¾ выделять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям;

¾ вычислять определенный интеграл с помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница;

¾ находить площади криволинейных трапеций.

Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства.

Таблица интегралов.

Свойство первообразной.

Если F₁(x) и F₂(x) – первообразные для функции f(x) в некотором промежутке Х, то найдется такое число С, что справедливо равенство: .

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается .

Согласно определению, .

Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: .
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: .
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого: .
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: .
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:
6. .

Таблица интегралов:

; (при п ¹ –1); ;

(при а > 0, a ¹ 0);

; ; ;

(при );

(при a ¹ 0);

;

;

(при a ¹ 0); .