Геометрические приложения определенного интеграла

Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке [а, b]. Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под кривой на [а, b] численно равна определенному интегралу , т.е.

Пример. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями ,

Решение. Из рис. 11 видно, что искомая площадь S криволинейного треугольника ОАВ равна разности двух площадей:

, '

каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла.

Рис. 11

Решая систему , получаем, что точка В пересечения прямой и кривой имеет координаты (2; 4). Тогда . Для вычисления второго интеграла определим вид подынтегральной функции, выразив из переменную у: .

Тогда получим:

Ответ: ед².

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое определенный интеграл?

2. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

3. В чем заключается формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла?

4. Какие вы знаете способы вычисления определенных интегралов?

5. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?