Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

1. Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член u_n при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю: ,

Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

Пример. Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости:

Решение. Находим . Необходимый признак сходимости ряда выполняется.

2. Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

а) Признак сравнения рядов с положительными членами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда: исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда. При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используется геометрический ряд

,

Который сходится при и расходится при , и гармонический ряд

Являющийся расходящимся.

При исследовании рядов используется также обобщенный гармонический ряд

Если p=1, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если p< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p> 1 имеем геометрический ряд, в котором : он является сходящимся. Итак, обобщённый гармонический ряд сходится при p> 1 и расходится при .

Пример. Исследуйте сходимость ряда, применяя признак сравнения:

Решение.

Находим . Необходимый признак сходимости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом.

,

Который сходится, так как q= < 1.

Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получаем неравенства

; ; ….; ; ….,

Т.е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.

б) Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

Выполняется условие , то ряд сходится при L < 1 и расходится при L > 1.

Признак Даламбера не даёт ответа, если L=1. В этом случае для исследования ряда применяются другие сравнения.

Пример. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

Решение. Подставив в общий член ряда вместо n число n+1, получим . Найдём предел отношения (n+1)-ого члена к n-му члену при :

.

Следовательно, данный ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

Решение.

Имеем ; ;

;

,

т.е. ряд расходится.

Задание. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

Решение:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ: расходится.