Приемы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, основанный на применении четвертого и пятого свойств неопределенного интеграла, называется методом разложения или методом непосредственного интегрирования.

Пример. Найдем:

1) , 2) ,

3) .

Решение.

1)Представим интеграл в виде суммы интегралов и, произведя вынесение коэффициентов за знак интеграла, сведем их к табличным:

2) Возведя в квадрат подынтегральное выражение, повторим операцию, рассмотренную в предыдущем примере:

3) Произведя почленное деление подынтегрального выражения на х³, получим:

Задание. Найти:

1)

_____________________________________________________________________________

Ответ: х² + С

2)

_____________________________________________________________________________

Ответ: - 3sinx + С

Метод замены переменной

Один из основных методов интегрирования – метод замены переменной (или метод подстановки), описывается следующей формулой:

.

Однако, новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала) на основании теоремы:

Теорема. Пусть F(x) – некоторая первообразная для функции f(x). Тогда , где k и b – некоторые числа, причем k ¹ 0.

Пример. Найдем 1) , 2)

Решение.

1)

Произведя подстановку, получим:

2) Так как аргумент подынтегральной функции имеет вид , где , то, применяя вышеназванную теорему, получим:

Задание. Найти

Решение. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:

Интегрирование по частям*

Формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При ее применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два множителя и и dv. При переходе к правой части первый их этих множителей дифференцируется, а второй интегрируется.

Пример. Найдем .

Решение.

Применим метод интегрирования по частям.

Положим, что . Тогда .

Подставляя выражения в вышеуказанную формулу, получим:

Задание*. Найти

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:

Вопросы для самоконтроля

1. Какая функция называется первообразной для заданной функции?

2. Если F(x) – первообразная для f(x), то каким равенством связаны они между собой?

3. Как записать всю совокупность первообразных?

4. Что называется неопределенным интегралом?

5. В чем заключается правило интегрирования выражения, содержащего постоянный множитель?

6. В чем заключается правило интегрирования алгебраической суммы функций?

7. Как проверить результат интегрирования?

8. Какие вы знаете способы интегрирования и в чем они заключаются?