Контрольное задание.

Найти интегралы:

__________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4*.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Определенный интеграл

Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х₁, х₂, … и точек x₁, x₂, … Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у=f(x) на [a; b], обозначается , а сама функция у = f(x) называется интегрируемой на [a; b], т.е.

.

Свойства определенного интеграла:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е.

.

4. Если на отрезке [a; b] f(x) £ g(x), то и £ .

5. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то найдется такое значение x Î [a; b], что .

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) первообразная функцией для функции f(x) на отрезке [a; b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a; b] равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е. .

Пример. Вычислим следующие интегралы:

1) ; 2) .

Решение. Эти задачи на непосредственное применение формулы Ньютона – Лейбница:

1) ;

2)

Задание. Вычислить

Решение.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: 3.

Задание. Вычислить

Решение.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: e - 1.

Метод замены переменной в определенном интеграле.

Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , , и функция непрерывна в каждой точке вида , где . Тогда справедливо следующее равенство:

Данная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Как видите, использование введения новой переменной в определенном интеграле производится аналогично тому, как это производилось в неопределенном интеграле. Однако в этом случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной. Достаточно рассчитать и подставить новые пределы интегрирования.

Пример. Вычислим .

Решение.

Положим . Тогда . Вычислим значения новых пределов интегрирования, подставив в формулу новой переменной исходные значения пределов: , . Воспользовавшись формулой замены переменной в определенном интеграле, получим:

Задание. Вычислить

Решение.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: - 1.

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле*

Пусть функции имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда . Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример. Вычислим .

Решение.

Пусть ,

Тогда и . Воспользовавшись формулой интегрирования по частям в определенном интеграле, получим:

Вы заметили, что при расчете была введена переменная .

Задание *. Вычислить

Решение.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: 8ln4 – 4 - .