Геометрический смысл производной

Рис. 7

Пусть непрерывная функция , где , дифференцируема в некоторой точке , а кривая L – график этой функции, содержащий точку . Выберем на кривой L произвольную точку М (х; у) и построим секущую М0М (см. рис. 7). Точку М можно выбрать сколь угодно близко в точке М0. Положение секущей при этом будет изменяться.

Касательной к кривой L в точке М₀ Î L называется прямая М₀Т, занимающая предельное положение секущей М₀М (МÎ L) при М ® М₀ (если такое положение существует).

Геометрический смысл производной: производная функции в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой х_{0: .}

Уравнение касательной к кривой L в точке (х ₀; f (х ₀)), записанное как уравнение прямой, проходящей через точку (х ₀; f (х ₀)) и имеющей угловой коэффициент имеет вид:

или

.

Уравнение нормали к кривой (прямой, проходящей через точку кривой L с абсциссой х₀ перпендикулярно касательной) составляется аналогичным образом с учетом того, что ее угловой коэффициент равен:

,

то есть или .

Пример. Составим уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке:

1)

2)

Решение.

1)

Согласно определению производной, имеем:

Тогда уравнение касательной примет вид: или

Уравнение нормали запишем в виде:

2)

Согласно определению производной, имеем:

Уравнение нормали запишем в виде: