Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Геометрический смысл производной






Рис. 7 Пусть непрерывная функция , где , дифференцируема в некоторой точке , а кривая L – график этой функции, содержащий точку . Выберем на кривой L произвольную точку М (х; у) и построим секущую М0М (см. рис. 7). Точку М можно выбрать сколь угодно близко в точке М0. Положение секущей при этом будет изменяться.

Касательной к кривой L в точке М0 Î L называется прямая М0Т, занимающая предельное положение секущей М0М (МÎ L) при М ® М0 (если такое положение существует).

Геометрический смысл производной: производная функции в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой х0: .

Уравнение касательной к кривой L в точке (х 0; f (х 0)), записанное как уравнение прямой, проходящей через точку (х 0; f (х 0)) и имеющей угловой коэффициент имеет вид:

или

.

Уравнение нормали к кривой (прямой, проходящей через точку кривой L с абсциссой х0 перпендикулярно касательной) составляется аналогичным образом с учетом того, что ее угловой коэффициент равен:

,

то есть или .

Пример. Составим уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке:

1)

2)

Решение.

1)

 

 

Согласно определению производной, имеем:

Тогда уравнение касательной примет вид: или

Уравнение нормали запишем в виде:

 

2)

Согласно определению производной, имеем:

 
Тогда уравнение касательной примет вид: .

Уравнение нормали запишем в виде:

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.007 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал