Пример. 1) Функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой знаменатель дроби обращается в нуль.

1) Функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой знаменатель дроби обращается в нуль.

2)

Определение Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а, если в этой точке ее приращение стремится к нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю, или иначе: функция f (х) называется непрерывной в точке х = а, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. если

Односторонние пределы функции^*

Левосторонний предел функции. Если отыскивается предел функции f(x) при условии, что х, стремясь к а, может принимать только такие значения, которые меньше а, то этот предел, если он существует, называется левосторонним пределом функции f (х) (или левым пределом функции).

Для того чтобы показать, что х стремится к а, оставаясь меньше а, употребляется запись: , а левосторонний предел функции обозначается символом: .

Правосторонний предел функции. Если отыскивается предел функции f(x) при условии, что х, стремясь к а, может принимать только такие значения, которые больше а, то этот предел, если он существует, называется правосторонним пределом функции f(x) (или правым пределом функции).

То, что х, стремясь к а, остается больше а, обозначается так: , а правосторонний предел функции обозначается символом: .

Очевидно, что предел функции при существует только тогда, когда существуют и равны между собой ее левосторонний и правосторонний пределы, т. е. когда .

Определение Функция f(x) называется непрерывной при х = а, если ее левосторонний и правосторонний пределы существуют, между собой равны и равны значению функции в этой точке, т. е. f(a). То есть:

.

Точки разрыва и их классификация^*

Если равенство в какой-либо его части не выполняется, то о точке говорят, что она является точкой разрыва.

Точка разрыва первого рода

Рис. 2

Определение. Если левосторонний предел функции и ее правосторонний предел существуют, но не равны, между собой, т. е. если то точка а называется точкой разрыва первого рода (см. рис. 2).

Точка разрыва второго рода

а) б)	Определение. Если в точке х = а не существует конечный левосторонний или правосторонний предел функции или оба одновременно, то эта точка называется точкой разрыва второго рода. На рис. 3, а отсутствует левосторонний предел функции; на рис. 3, б – нет правостороннего предела функции.
Рис. 3

Рис. 4

На рис. 4 представлен график функции, которая не имеет в точке х = а ни левостороннего, ни правостороннего предела. Во всех этих случаях говорят, что функция в точке х = а терпит разрыв второго рода (иначе: точка х = а — точка разрыва второго рода).