Производная функции одной переменной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции

Определение производной

Рассмотрим функцию , где (рис. 31). Возьмем произвольную точку . Для любого разность х – х ₀ называется приращением аргумента х в точке х ₀ и обозначается . Таким образом,

Разность называется приращением функции в точке х ₀.

Производной функции в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует и обозначается

Пример. Вычислим по определению производную функции в заданной точке:

1)

2)

Решение. Согласно определению производной, имеем:

1) ;

2)

Ответ. 1) –3; 2) 4 а + b; 3)

Задание. Вычислить по определению производную функции в заданной точке:

Решение. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ:

Функция, имеющая производную в точке х _0, называется дифференцируемой в этой точке. Если же функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала , то она дифференцируема на этом интервале. Необходимое условие существования производной вытекает из следующей теоремы.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

Однако непрерывность функции в точке не является достаточным условием дифференцируемости функции в точке.

Пример. Функция непрерывна в точке х ₀ = 0, но не дифференцируема в ней, поскольку