Устранимый разрыв

Определение. Если в точке х = а функция f(x) имеет левосторонний и правосторонний пределы и эти пределы между собой равны, но их значения не совпадают со значением функции в точке а, т. е. со значением f(a), то точка х = а называется точкой устранимого» разрыва.

Таким образом, в этом случае . Разрыв «устраняется» тем, что полагают , т. е. принимают, что .

Пример. Пользуясь определением непрерывности функции через предел , докажем, что функция непрерывна в произвольной точке.

Решение. Выразим приращение функции при произвольном приращении аргумента в некоторой точке х:

Подставим полученные выражения в формулу приращения функции, и после упрощения получим:

.

Найдем предел приращения функции при приращении аргумента, стремящемся к 0:

В итоге получаем, что при любом значении х предел приращения функции равен нулю, что доказывает ее непрерывность при любом значении х.

Пример. Исследуем на непрерывность при х = 1 следующую функцию:

.

Решение. Так как знаменатель дроби равен нулю при , то функция разрывна при . Установим характер этой точки разрыва. Найдем сначала левосторонний предел функции:

Если , то можно представить , и считать, что , оставаясь положительной, стремится к нулю. Заменяя х на , получим:

так как при величина бесконечно большая, также бесконечно велика, – бесконечно большая величина, обратная ей величина бесконечно мала: , а потому

Теперь определим правосторонний предел функции. Если х → 1 + 0, можно положить х = 1 + α (α > 0) и считать, что α, оставаясь положительной, стремится к нулю.

Тогда, заменяя х на 1 + α, получим:

,

Итак, у функции существуют и левосторонний предел, равный 2, и правосторонний предел, равный 3, но между собой они не равны. Из этого мы заключаем, что точка является для заданной функции точкой разрыва первого рода.

Пример. Построим графики и определим, какого рода разрыв имеет функция в данной точке (если точка не указана, определим точки разрыва самостоятельно):

1) , 2) 3) .

Решение.

1) в точке функция имеет разрыв второго рода, поскольку не имеет в этой точке ни одного конечного предела (см. рис. 5, а).

2) в точке функция имеет разрыв второго рода, поскольку не имеет в этой точке ни одного конечного предела (см. рис. 5, в).

3) функция имеет точки разрыва и . В обеих точках функция имеет разрыв второго рода (см. рис. 5, б).

а)	б)	в)
Рис. 5

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение предела последовательности.
2. Дайте определение предела функции.
3. Сформулируйте теоремы о пределе функции.
4. Дайте определения бесконечно малых и бесконечно больших функций.
5. Назовите основные неопределенности при вычислении пределов функции.
6. Объясните основные методы раскрытия неопределенностей.
7. Дайте определение непрерывной функции.
8. Дайте определение точек разрыва функции 1 и 2 рода^*.