В этом случае пишут: или при .

Если же для некоторой последовательности значений аргумента, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции не является сходящейся, то функция в данной точке не имеет предела. То же заключение можно сделать, если для двух различных последовательностей значений аргумента последовательности соответствующих значений функции имеют различные пределы.

Очевидно, число В является пределом функции при тогда и только тогда, когда можно представить в виде:

= В + , где при .

Отметим, что точка а, в которой рассматривается предел функции , может принадлежать области определения функции , а может и не принадлежать. При нахождении предела функции в точке не рассматривается значение функции в этой точке.

Пример. Докажем справедливость следующих равенств:

1) , при = с; 2) при .

Решение.

1) Пусть = с для всех х из некоторого интервала, содержащего точку а. Тогда для любой последовательности (х_n) такой, что х_n ® а при n ® ¥, имеем = с и .

Следовательно .

2) Для любой последовательности (х_n) такой, что х_n ® а при n ® ¥, имеем

.

Следовательно, согласно определению предела .

Свойства пределов функций

Основные свойства пределов функций аналогичны теоремам о пределах числовых последовательностей:

1) Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют: .

2) Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют: .

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: , если существует.

3) Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля: , если .

При изучении пределов функций иногда полезно использовать следующую «теорему о пределе промежуточной функции».

Теорема. Если , и в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а, выполняются неравенства , то .

Пример. Вычислите пределы фукций: 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1)

2) Поскольку предел знаменателя равен 0, то воспользоваться теоремой о пределе частного невозможно. Поэтому первоначально сократим дробь, разложив числитель на множители:

3)

Ответ. 1) 11, 2) –1, 3) 2.

Задание. Вычислите пределы функций:

1).

Решение:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: -1

2).

Решение:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ: -6.

Определение предела функции на бесконечности

При изучении свойств функции приходится рассматривать предел функции в бесконечности, бесконечный предел функции в точке, а также бесконечный предел в бесконечности.

Рассмотрим более подробно предел функции в бесконечности, т.е. при и при .