Определение. Последовательность (an), имеющая предел А, называется сходящейся к числу А, не имеющая предела последовательность называется расходящейся.

Геометрический смысл сходимости можно выявить, преобразовав выражение :

Таким образом, все члены последовательности (a_n), сходящейся к числу А, имеющие порядковые номера лежат в интервале (А– e; А + e), который называется e- окрестностью точки А.

Величина может стремиться к своему пределу различными способами:

1) оставаясь меньше своего предела, 2) оставаясь больше своего предела, 3) колеблясь около своего предела и 4) принимая значения, равные своему пределу.

Пример. Докажем, что последовательность с общим членом имеет предел, равный 1.

Решение.Выберем произвольно положительное число ε и покажем, что для него можно определить такое натуральное число N, что для всех номеров п > N будет выполняться неравенство, рассмотренное выше, в котором надо взять А = 1, т. е. неравенство

После приведения в скобках к общему знаменателю получим

или

Но если то и .

Из последнего неравенства следует, что , а .

Значит, если номер N больше, чем , то неравенство будет выполняться.

Теперь надо решить вопрос о числе N, о котором идет речь в определении. За число N можно принять наибольшее целое число, содержащееся в числе . Наибольшее целое число, содержащееся в числе х, обозначается знаком Е (х). На основании этого наибольшее целое число, содержащееся в числе надо обозначить так: Итак, можно принять (предполагается, что , иначе N не будет натуральным и его надо брать равным 1).

Таким образом, попроизвольно заданному положительному числу мы нашли такое натуральное число N, что для всех номеров n> N неравенство действительно выполняется, а этим и доказано, что 1 является пределом последовательности с общим членом .

Проиллюстрируем это числовым примером.

Пусть, например, . Тогда при получаем из следующее значение: или

Таким образом, для членов последовательности с номером большим, чем 99, выполняется неравенство:

Пусть п = 97; тогда, так как , то , а

если п = 98, то и , а

Из этих расчетов видно, что когда номер п члена последовательности меньше 99 неравенство не выполняется, т.е. Если взять номер, превышающий 99, например, п = 101, то получим и , а .

если п = 98, то и , а

Полученный результат можно записать так: . Иначе можно сказать, что последовательность сходится к 1.

Мы употребили запись , которую следует понимать так: переменная величина п становится все большей и большей и не существует предела для ее возрастания. Какое бы большое число мы ни задали, п в процессе своего возрастания его превзойдет. Для того чтобы коротко описать этот характер изменения п, принято говорить «эн стремится к бесконечности» и записывать это так: . Символ произносится «бесконечность» и применяется для сокращенной записи слова «бесконечность».

Символ ни в коем случае не может рассматриваться как число, а потому бессмысленной является запись , так как п может равняться числу и не может быть равно символу, введенному только для сокращенной записи и сокращенного произношения фразы, которой заранее был придан определенный, указанный выше, смысл.

Очевидно, что последовательность может быть записана таким образом:

Пример. Докажем, что последовательность 3, З², 3³, 3⁴,..., 3 "... не имеет предела.

Решение. Мы докажем требуемое, если установим, что общий член этой последовательности превзойдет любое наперед заданное число.

Пусть А такое число. Возьмем .

Свойства пределов последовательностей

Если две последовательности и имеют пределы, равные соответственно А и В, то:

1) Последовательность имеет предел, равный :

Это свойство распространяется на случай любого фиксированного числа слагаемых,

2) Последовательность имеет предел, равный , т. е.

Это свойство распространяется также на случай любого фиксированного числа сомножителей.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

при любом постоянном k.

3) Последовательность имеет предел, равный , т. е.

.

при условии, что все у_п не равны нулю и .

Пример. Найдем предел последовательности: .

Решение. Очевидно, что числитель и знаменатель данной дроби имеют бесконечные пределы, т. е. представляют собой расходящиеся последовательности. Для разрешения проблемы произведем тождественное преобразование дроби, почленно разделив ее на наибольшую из степеней п (в данном случае, на ). Предел полученной дроби найдем, определив значение предела каждого слагаемого в отдельности и учитывая, что при условии, что с и k – постоянные, причем k больше 1. Помните, что предел постоянной величины есть сама величина, поскольку последовательность, все члены которой равны, имеет предел, равный ее общему члену. После этих подробных рассуждений укажем, как следует расположить записи:

Здесь применена теорема о пределе дроби.

Ответ: –2.

Пример. Найдем .

Ответ:

Задание. Вычислите предел последовательности:

Решение:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:

Предел функции

Определение предела функции в точке

Сформулируем определение предела функции в точке.

Определение. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, может быть, самой точки а, Число В называется пределом функции f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любой последовательности значений аргумента хп ¹ а, п Î N, сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f(xп), п Î N, сходится к числу В.