Первый и второй замечательные пределы.

Рис. 1

Первый замечательный предел. Вывод первого замечательного предела представляет интерес с точки зрения приложения теории пределов, и поэтому мы предлагаем Вам его практически целиком. Рассмотрим поведение функции при . Для этого рассмотрим окружность радиуса 1; обозначим центральный угол МОВ через х, при этом .

Тогда явно площадь DМОА < площадь сектора МОА < площадь DСОА (см. рис. 1).

S _DМОА =

S _МОА= = S _DCОА=

Вернувшись к упомянутому неравенству и удвоив его, получим:

sin x < x < tg x.

Поскольку , то переменная заключена между двумя величинами, имеющими один и тот же предел, т.е., на основании теоремы о пределе промежуточной функции предыдущего пункта имеем:

- первый замечательный предел.

Пример. Вычислите пределы функций, используя первый замечательный предел:

1) ; 2) ; 3)

Решение.

1) Разложим как отношение и объединим множители по вышеуказанной схеме:

2) Применяя формулу , произведем подстановку и получим:

3) Разделим числитель и знаменатель дроби на х, затем выровняем сложные аргументы, компенсируя преобразование добавочным коэффициентом и получим:

Ответ. 1) 1, 2) 0, 3)

Задание: Вычислите предел функции, используя первый замечательный предел:

Решение:

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ: -2.

Второй замечательный предел.

Для вывода второго замечательного предела введем определение числа е:

Определение. Предел переменной величины при называется числом е:

- второй замечательный предел

Число е – иррациональное число. Его значение с десятью верными знаками после запятой обычно округляют до одного верного знака после запятой:

e = 2, 7182818284…» 2, 7.

Теорема. Функция при х, стремящемся к бесконечности, стремится к пределу е:

Пример. Вычислите пределы функций:

1) 2) ; 3)

Решение.

1)

2) Введем новую переменную с целью свести предел ко второму замечательному пределу: , отсюда . При имеем , т. е. .

Кроме того, аналогичным образом можно доказать, что

3) Разложив числитель данной дроби на слагаемые, добьемся выделения 1, а затем примем и используем упомянутое выше утверждение:

Ответ. 1) е ³, 2) е ², 3) е ⁴.

Задание. Вычислите предел функции, используя второй замечательный предел:

Решение:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: е^-5