Метод касательных. Пусть функция y=F(x) определена, непрерывна, монотонна и дифференцируема в некоторой окрестности корня.

Пусть функция y=F(x) определена, непрерывна, монотонна и дифференцируема в некоторой окрестности корня.

Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.

На k ^ой итерации проводится касательная к графику функции y=F(x) при x=c_k и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом достаточно задать начальное приближение c₀, а не указывать отрезок [ a, b ].

Уравнение касательной к графику функции y=F(x) в точке x₀ имеет вид: . Пересечение с осью Ox находится из условия y= 0, откуда

Таким образом, получим формулу для нахождения последовательности c₁, c₂… точек пересечения касательных с осью абсцисс:

Условие окончания счета: . Корень уравнения: c_i+1.

Блок-схема метода касательных:

начало

Программа уточнения корней методом касательных:

program met_kasat;

var c, e, g: real;

N: integer;

function f(x: real): real;

begin

{записать, функцию в виде f: =[математическое выражение]}

f: =x*x*x-x+4;

end;

function df(x: real): real;

begin {записать, производную функции f в виде df: =[математическое выражение]}

df: =3*x*x-1;

end;

begin

write('Введите начальное приближение - c: '); readln(c);

write('Введите требуемую погрешность - e: '); readln(e);

N: =0;

repeat N: =N+1;

g: =c;

c: =c-f(c)/df(c);

until abs(g-c)< e;

writeln('Приближенное значение корня - Х = ', c);

writeln('Число итераций - N = ', N);

readln

end.