Преобразование к итерационному виду

1) Универсальный способ приведения уравнения F(x)=0 к виду x=f(x).

Уравнение F(x)=0 приводится к равносильному уравнению x = x – m F(x), таким образом, f(x) = x – m F(x).

Исходя из третьего условия теоремы: ($q) (" x Î [ a, b ]) [ |f’(x)|£ q< 1 ] следует, что должно выполняться неравенство: 0 < |1– mF’(x)| < 1.

Достаточно подобрать m так, чтобы выполнялось неравенство 0< mF’(x)< 1, откуда следует и .

Тогда q можно принять .

Примечания:

· Если (" x Î [ a, b ]) f’(x)< 0, то вместо уравнения F(x)=0 переходим к равносильному уравнению: – F(x)=0.

· Если при приведении уравнения F(x)=0 к итерационному виду x=f(x) получилось, что " x Î [ a, b ] | f’(x) |> 1, то от функции вида y=f(x) переходят к функции x=g(y), обратной для f(x). При этом рассматривается уравнение y=g(y) или x=g(x), причем по свойству обратных функций .

2) Иногда удается преобразовать уравнение F(x)=0 к виду x=f(x) более простым способом, выразив x из уравнения.

Блок-схема метода итераций:

начало

Программа решения уравнения методом итераций:

program met_iter;

var x, y, e, q, a, p: real;

N: integer;

function f(x: real): real;

begin {записать, функцию в виде

f: =[математическое выражение], где f(x) удовлетворяет условиям сходимости итерационного процесса}

f: =x-1/11*(x*x*x-x+4)

end;

begin

write('Введите начальное приближение - x: '); readln(x);

write('Введите требуемую погрешность - e: '); readln(e);

write('Введите - q: '); readln(q);

a: =e*(1-q)/q;

N: =0;

repeat N: =N+1; y: =f(x);

p: =x-y; x: =y

until abs(p)< =a;

writeln('Приближенное значение корня - Х = ', x);

writeln('Число итераций - N = ', N);

readln

end.