Интерполирование функций. Пусть известны значения функции f в некоторых точках: x x0 x0 x0 (1) x0 f(x) y0 y0 y0

Постановка задачи

Пусть известны значения функции f в некоторых точках:

Требуется получить y=f(x) для x Ï [ x₀, x_n ], где x ¹ x_i. При этом аналитическое выражение

· не пригодно ля вычислений либо

· неизвестно.

В этом случае строим приближающую функцию F(x)» f(x), такую что F(x) = f(x) при x=x_i (i=0, 1, …, n), т.е. F(x₀)=y₀, F(x₁)=y₁, …, F(x_n)=y_n (2)

Нахождение приближенной функции называется интерполяцией (интерполированием), точки x₀, x₁, …, x_n узлами интерполяции.

Будим искать функцию F(x) в виде многочлена степени n:

P_n(x) = a₀ xⁿ + a₁ x^n-1 + … + a_n-1 x + a_n

Этот многочлен имеет n+1 коэффициент. Наложим на него n+1 условий (2). Таким образом можно однозначно определить коэффициенты многочлена.

Рассмотрим получившуюся систему уравнений: .

Ее определитель (определитель Вандермонда) отличен от нуля:

Значит, интерполяционный многочлен P_n(x) для функции f, заданной таблично, существует и единственный. При этом какие-то коэффициенты могут равняться нулю (в том числе и a₀); следовательно, интерполяционный многочлен имеет степень не большую, чем n.