Указания к выполнению работы. При отделении одного из корней уравнения определяется начальный интервал , на котором гарантированно существует только один корень

При отделении одного из корней уравнения определяется начальный интервал , на котором гарантированно существует только один корень. Отрезок содержит строго один корень при выполнении двух условий: (на концах отрезка функция имеет разные знаки) и сохраняет знак на .

При уточнении корня уравнения методом деления отрезка пополам этапы решения задачи необходимо оформить в виде расчетной таблицы Excel. Заголовки этой таблицы представлены ниже.

		x					l		Условие остановки по	Условие остановки по

Столбцы таблицы расчетов включают: – номер шага; – начало отрезка; – конец отрезка; – середина отрезка; , и - значения функции в соответствующих точках; l=b-a - длина текущего отрезка , т.е. абсолютная погрешность решения; % - относительная погрешность результата в процентах.

На каждом шаге выбирают тот из двух получившихся после деления пополам отрезков, для которого значения функции на концах отрезка имеют разные знаки.

По условию задания 1-1 процедуру следует прекратить, если проделано требуемое число шагов n.

По условию задания 1-2 процедуру нужно прекратить, если выполняются неравенство и (или) неравенство . В последних столбцах таблицы должно появиться указание на прекращение поиска. Значения требуемого числа шагов по первому критерию и по второму критерию определяется по номеру строки, в которой первый раз появилось сообщение об остановке. Одновременное выполнение двух критериев приводит к выбору наибольшего из полученного числа шагов .

В качестве окончательного решения по каждому из критериев можно выбрать любую точку внутри последнего отрезка . Обычно за решение выбирают середину последнего отрезка , и тогда точность решения увеличивается вдвое.

Графики погрешностей нужно построить с использованием Мастера диаграмм.

Вопросы к заданию 1

1. Каким условиям должна удовлетворять функция на отрезке, чтобы на нем находился единственный корень?

2.Что заносится в таблицу исходных данных для реализации рассматриваемого метода?

3. По какому правилу производится сужение отрезка после нахождения его середины?

4. Какой критерий остановки используется? Как фиксируется и доводится до сведения пользователя факт необходимости остановки?

5. Могут ли быть исключены из указанной выше таблицы какие - либо столбцы с избыточными вычислениями?

6. Какая точка внутри последнего отрезка может быть принята за окон-чательное решение?

7. Как аналитически найти наибольшее требуемое число шагов при известном от-резке неопределенности и заданной предельной абсолютной погрешности?

ЗАДАНИЕ 2. МЕТОД ХОРД ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2-1. Отделить один из корней уравнения . На основе анализа знаков и на границах найденного отрезка неопределенности определить неподвижную границу. Уточнить корень методом хорд, сдвигая одну из границ отрезка, за число шагов . Оценить абсолютную и относительную погрешности для полученного решения. Построить график изменения этих погрешностей в зависимости от числа шагов i.

2-2. Отделить один из корней уравнения . Уточнить корень методом хорд с абсолютной погрешностью не более = 0, 0001 и с относительной погрешностью, не превышающей предельное значение = 0, 05%. Построить графики изменения абсолютной и относительной погрешностей в зависимости от числа шагов i. Определить число шагов вычислительного процесса для достижения требуемой точности.

Варианты исходных уравнений представлены ниже.

Вариант	Уравнение