Указания к выполнению работы. Метод хорд применим на отрезке изоляции корня , если выполняются условия: ; , и существуют; и сохраняют знак на

Метод хорд применим на отрезке изоляции корня , если выполняются условия: ; , и существуют; и сохраняют знак на .

В задании 2-1 необходим предварительный анализ функции на знак второй производной и знак самой функции на выделенном отрезке неопределенности. Находим ту границу найденного отрезка неопределенности , для которой знак функции совпадает со знаком ее второй производной . Эта граница отрезка неопределенности в процессе его сужения остается неподвижной, если сохраняет знак на всем исходном отрезке. Другая граница интервала изменяется и определяется по формуле координаты пересечения хорды с осью 0x. По условию задания 2-1 необходимо сделать только заданное число шагов.

В задании 2-2 после нахождения исходного отрезка внутренняя точка определяется по формуле , после чего эта точка (в зависимости от результатов анализа произведения значений функции на границах ) становится одной из границ нового отрезка. Остановку производят на основе анализа расстояния между двумя последними решениями. Расчеты следует оформить в виде представленной ниже таблицы.

									Условие остановки по	Условие остановки по

Столбцы содержат: – номер шага; – начало отрезка; – конец отрезка; - внутренняя точка последнего отрезка (пересечение хорды с осью 0x); , , - значения функции в соответствующих точках; - абсолютная погрешность текущего решения; - относительная погрешность текущего решения. Первая строка расчетной таблицы не содержит формулы для определения текущих значений погрешностей и формулы анализа остановки. При такой организации вычислительного процесса предварительно определять неподвижную границу не нужно.

Если исходный отрезок найден правильно (соблюдаются указанные выше требования к функции, ее первой и второй производным), то в расчетной таблице одна из границ отрезка неопределенности остается постоянной. Для удобства можно ввести дополнительный столбец для анализа знака произведения, используемого при принятии решения о сужении отрезка.

По условию задания 2-2 процесс вычислений следует прекратить при выполнении неравенств и . В качестве решения следует выбрать последнюю найденную точку .

Вопросы к заданию 2

1. Приведите графическую интерпретацию метода хорд для решения нелинейных уравнений при различных знаках и на отрезке неопределенности.

2. Приведите формулу определения приближенного значения корня на i-ом шаге вычислительного процесса по методу хорд.

3. Какая из границв отрезка неопределенности остается неподвижной при исполь-зовании метода хорд?

4. Какие условия остановки используются? В чем их отличия от условий остановки для метода дихотомии?

5. Можно ли применять метод хорд, если вторая производная меняет знак на исходном отрезке неопределенности? Что при этом произойдет?

6. Могут ли значения абсолютной и относительной погрешностей для рассматриваемого метода увеличиваться с ростом числа шагов?

ЗАДАНИЕ 3. МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

3-1. Отделить графически один из корней уравнения . На основе анализа знаков и на границах найденного отрезка неопределенности выбрать в качестве начального решения одну из границ найденного отрезка.

Уточнить корень методом касательных, сделав число итераций . Определить абсолютную и относительные погрешности для полученного решения. Построить график изменения погрешностей в зависимости от числа шагов i.

3-2. Отделить графически один из корней уравнения . На основе анализа знаков и на границах найденного отрезка неопределенности выбрать в качестве начального решения по методу касательных одну из его границ.

Уточнить корень методом касательных с абсолютной погрешностью не более 0, 0001 и (или) относительной погрешностью не более 0, 05%. Построить графики изменения погрешностей и в зависимости от числа шагов i. Определить число шагов вычислительного процесса для достижения требуемой точности по двум критериям.

Выбрать вторую границу исходного интервала в качестве начального решения, повторить вычислительный процесс. Сравнить скорость сходимости или показать расходимость метода.

Исходное уравнение для нужного варианта выбрать из представленной выше таблицы с заданиями для метода хорд.